R^2 -> R

http://home.imf.au.dk/holger/cs06/noter/nonclairaut.pdf

Det betyder, at f er en funktion, der tager et punkt (x,y) fra planen R^2 og afbilder over på den reelle akse. Ofte bliver sådan en funktion illustreret ved at afsætte (x,y) i en vandret plan og derpå angive funktionsværdien på z-aksen, så man får et landskab, hvor (x,y) angiver positionen og z=f(x,y) angiver landskabets højde i det givne punkt.

#2 Ja.

#3 Så hvad betyder det grafisk hvis man taler om ex. R^4?

Og hvad betyder det hvis der IKKE gælder R^2 -> R for en funktion?

Jamen du kan jo bare definere arbitrære mange variable, hvorfor din funktion giver dig et resultat af dimension 1.

#4 Hvis vi taler om R⁴ kan vi da godt lege den leg at se på en funktion f:R³→R som grafisk kan repræsenteres som et rum med temperatur, hvor punktet i R³ er positionen i rummet, mens funktionsværdien i R er rummets "temperatur" i det givne punkt. Du kan også lade funktionsværdien være en slags farvet tåge, så du bevæger dig rundt i et 3d-rum, hvor der ligger en farvet tåge spredt ud.

Man kan også lade være. Hvad skal man med en grafisk repræsentation af noget, der foregår i flere dimensioner end vi visuelt har til rådighed? Vi kan alligvel aldrig kapere rum som R^∞, så lad os bare droppe grafer i disse abstraktioner.

#6 Ganske rigtigt - og det hedder arbitrært med "t" til sidst, fordi "arbitrært" her er et modalt adverbium, der fortæller "på hvilken måde" der er tale om adjektivet "mange".

Hmm...

apropos flere dimensioner, så forstår jeg ikke rigtig hvad man kan bruge konturer og niveaukurver for funktioner med 3 variable eller flere.

Hvor en funktion med to variable forstår jeg godt hvad der foregår grafisk, men når man begynder at lave konturer/niveaukurver for funktioner med <3 variable (konturen bliver fx en kugle i rummet) er jeg helt lost... hvordan skal man forstå sådan noget?