Definition ud fra addition og multiplikation

"Hvorfor er det, at man med fordel kan definerer de komplekse tal ud fra de regneregler angående muliplikation og addition?"

fordi det er fordelagtigt

z₁ = r₁*e^iφ₁        z₂ = r₂*e^iφ₂ 

z = z₁*z₂ = r₁*e^iφ₁ * r₂*e^iφ₂ = (r₁*r₂)*e^{i(φ₁+φ₂)}

...sum/differens skrevet i rektangulære koordinater

z₁ = a₁ + i*b₁      z₁ = a₁ + i*b₁

z = z₁ + z₂ = a₁ + i*b₁ ± (a₂ + i*b₂₎ = (a₁±a₂)  +  i(b₁±b₂)

z = r*e^iφ  =  r*(cos(φ)+isin(φ))

Er ikke helt med på hvorfor #1 svarer som han gør … men som jeg skrev i en tidligere tråd til dig … Så starter man med at definere C udfra R² hvor man bruger notationen a+ib for (a,b), og definerer addition, ved at lade sig inspirere af vektoraddition i R²,
i R² er (a,b)+(c,d)=(a+c, b+d)
som med "C-notation"ser sådan ud (a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d)
For multiplikation kan man kigge på x²+1=0 hvortil man gerne vil have løsninger  -  man sætter i=√(-1) og ser hvad notationen (med a+ib og i=√(-1)) giver ifm alm. multiplikation [i R] :
(a+ib)(c+id)=ac+aid+ibc+i²bd=(ac-bd)+i(ad+bc) 
I R² koordinater ser det sådan ud (a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc)
Med addition og multiplikation defineret som sådan ser(verificerer) man hurtigt at denne måde at addere og gange på gør R² til et legeme … dette legeme kalder man for C. Faktisk fås at C er et fuldstændigt legeme! ... men det går nok for vidt :/

Da en vektor (a,b) i R² polært kan skrives som (a,b)=r(cos(φ),sin(φ)) fås z=a+ib=r(cos(φ)+isin(φ)) for z=a+ibεC [som bruges i #3]
Slutteligt kan man vise at e^iφ=cos(φ)+isin(φ) [som gøres ved rækker - jeg kan ikke lige se et smartere bevis for dette!], hvorfor notationen i #1 også holder :)
 ... hvorfor man netop gør på denne måde: Fordi det er lettest ... de komplekse tal C kan også fx. defineres algebraisk ved R(x²+1) ... men, igen, det går nok for vidt :/