Den associative lov

Du skal bruge, at (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) til at vise, at (z+w)+q = z+(w+q), dvs, at

((a,b)+(c,d))+(e,f) = (a,b)+((c,d)+(e,f))

Nu udregner du blot begge sider af lighedstegnet ved at udregne parentesen først. På venstre side giver parentesen (som netop skrevet) (a+c,b+d) og på højre side giver parentesen (c+e,d+f) og så skal du bare regne færdig for at se, at det ender med at give det samme. Bemærk, at man dybest set gør brug af den associative lov for "almindelige" reelle tal, idet f.eks. (a+c)+e=a+(c+e). Spørg, hvis det ikke er klart nok.

Den assosiative lov siger bare (og jeg har brugt z med index):

(z₁+z₂)+z₃ = z₁+(z₂+z₃) for addition og (z₁z₂)z₃ = z₁(z₂z₃) for multiplikation, så kan du selvfølgelig godt skrive dem ud med realdelen for sig og den komplekse del for sig for eksempel:

z₁+z₂+z₃ = x₁+x₂+x₃+i*(y₁+y₂+y₃)

#1 Okay jeg er helt med på det du skriver :). Så det du siger er, at jeg skal bevise:

(a,b)+((c,d)+(e,f)) =  ((a,b)+(c,d))+(e,f)

Og altså ikke:

(a,b)+((c,d)+(e,f)) = ((a,b)+(c,d))+(e,f) = (a,b)+(c,d)+(e,f)

Eller det har jeg måske også gjort indirekte?

Det sidste udtryk (a,b)+(c,d)+(e,f) giver ikke mening uden den associative lov! Det er ikke éntydigt, om man mener (z+w)+q eller z+(q+w), og hvis den associative lov ikke var der, kunne disse to udtryk give et forskelligt resultat... Reelt har man jo kun defineret, hvordan to komplekse tal lægges sammen - hvad skal man overhovedet forstå ved summen af tre?

Men når den associative lov er vist, kan man definere summen af vilkårligt (endeligt) mange komplekse tal z₁+...+z_n til at være en hvilken som helst sum, hvor man sætter parenteserne som man har lyst, således at man kun lægger to sammen ad gangen. Resultatet af en sådan sum bliver med z_k=(a_k,b_k):

z₁+...+z_n=(a₁+...+a_n, b₁+...+b_n)

men også summerne a₁+...+a_n og b₁+...+b_n har brug for de associative love (i de reelle tal) for overhovedet at give mening.