Matematik

Differentiering af sammensat funktion

24. oktober 2004 af Mmusse (Slettet)

Der er en opgave, jeg ikke lige kan få til at stemme med min lommeregner. Jeg skal differentiere følgende funktion, og jeg går ud fra, at det er en sammensat funktion. Er der nogen, der ved, hvilken metode, jeg skal bruge for at finde differentialkvotienten? I behøver ikke regne den, hvis bare I siger, hvilken metode jeg skal bruge, og hvad jeg gør forkert.

1) f(x)=((x^2+2)^(1/2))/(4x).

Jeg vil differentiere den ved at sige:

dy/dx = dy/du*du/dz*dz/dx
= d(u/4x)/du*d(z^(1/2))/dz*d(x^2+2)/dx

hvor u=(x^2+2)^(1/2)=g(x)
z=x^2+2

Så har jeg brugt reglen for differentiering af en brøk for d(u/4x)/du:

Når f(x)=u/v så er f'(x)=(u'*v-u*v')/v^2

d(u/4x)/du=(1*4x-u*4)/(4x)^2
d(u/4x)/du=(4x-4*((x^2+2)^(1/2)))/(4x)^2

d(z^(1/2))/dz og d(x^2+2)/dx har jeg bare regnet ud fra reglen f'(x)=a*x^n.
Til sidst har jeg bare ganget de tre facit.

Jeg er ret sikker på, at det er d(u/4x)/du, der er forkert...
Nogen der ved, hvad jeg gør forkert??

Brugbart svar (0)

Svar #1
24. oktober 2004 af Darwin (Slettet)

Du skal vel bare bruge reglen for division.

Svar #2
24. oktober 2004 af Mmusse (Slettet)

# 1 Nej. Det er en sammensat funktion.. Det, der er over brøkstregen, er kvadratroden af (x^2+2). Jeg skriver bare (x^2+2) opløftet i (1/2) i stedet for. Det er jo det samme...

Og når jeg bruger brøkreglen for dy/du, så tror jeg, at facit er forkert... For det passer i hvert fald ikke med det grafregneren får...

Svar #3
24. oktober 2004 af Mmusse (Slettet)

Er der ikke andre, der måske ved, hvad jeg gør forkert?

Brugbart svar (0)

Svar #4
24. oktober 2004 af Lurch (Slettet)

Det er ret svært at hitte ud af hvad der foregår, med alle de finde du/dx, dz/dx osv.

For det første er dette forkert,
d(u/4x)/du=(1*4x-u*4)/(4x)^2
når du differentiere i forhold til u, er 4x jo en konstant, da x er uafhængig af u.
d(u/4x)/du=(1*4x-u*0)/(4x)^2 = 1/4x

Du kan ikke skrive det op på denne måde. du ønsker jo at differentiere i forhold til x, og ikke u!

d((x^2+2)^(1/2))/4x)/dx=
(du/dx*4x-u*4)/(4x)^2

Svar #5
24. oktober 2004 af Mmusse (Slettet)

Først:

Hvor får du det nul fra, du indsætter heri?:

d(u/4x)/du=(1*4x-u*0)/(4x)^2 = 1/4x

For når du differentierer 4x, så giver det da 4...

Og jeg forstår ikke helt, hvad det er, du gør til sidst..

Brugbart svar (0)

Svar #6
24. oktober 2004 af Lurch (Slettet)

du differentiere u/4x i forhold til u! 4x differentieret i forhold til u er 0! x afhænger jo ikke af u på nogen måde, og er derfor bare en konstant, når man differentiere i forhold til u. når en konstant differentieres giver det 0.
Men jeg skrev det bare for at vise din fejl, og at du ikke kan bruge den metode!

f'(x) =
((u)'*4x-u*4)/(4x)^2

u=(x^2+2)^(1/2)

Svar #7
24. oktober 2004 af Mmusse (Slettet)

Okay.. Men jeg er vist ret forvirret lige nu... For når at du siger

f'(x) =
((u)'*4x-u*4)/(4x)^2

så er der jo en sammensat funktion inden i den anden sammensatte funktion..? Hvis det giver nogen mening... u er jo også en sammensat funktion.

Og så kan jeg da ikke bare sige u'. Den skal også regnes som en sammensat funktion?

Kan man ikke bare sige at u'=1
når 1*u^(1-1)=1 ?

Brugbart svar (0)

Svar #8
24. oktober 2004 af Lurch (Slettet)

jeg skrev bare
f'(x) = ((u)'*4x-u*4)/(4x)^2
for at slippe for at skrive hele udtrykket op.
Helt skrevet ud ser det sådan her ud,

f'(x) =
((u)'*4x-u*4)/(4x)^2 =
(((x^2+2)^(1/2))'*4x-(x^2+2)^(1/2)*4)/(4x)^2

og ja (x^2+2)^(1/2) er en sammensat funktion. men det gør jo ingen forskel. den differentieres bare som en sammensat funktion nu gør.
(x^2+2)^(1/2) ' =
2x * (1/2) * (x^2+2)^(-1/2)

Du kan ikke bare sige at u'=1. Det er rigtigt at u differentieret i forhold til u er 1, men du vil jo gerne differentiere i forhold til x!
så som skrvet ovenfor er u'=
u'=(x^2+2)^(1/2) ' =
2x * (1/2) * (x^2+2)^(-1/2) =
x*(x^2+2)^(-1/2)

Brugbart svar (0)

Svar #9
24. oktober 2004 af Lurch (Slettet)

jeg for forøvrigt
f'(x) = - 1 / (2x^2 * kvrd(x^2+2))

Brugbart svar (0)

Svar #10
24. oktober 2004 af Lurch (Slettet)

får even

Svar #11
24. oktober 2004 af Mmusse (Slettet)

Nååh... Ja, nu har jeg lige regnet det igen.. Nu forstår jeg det meget bedre. Du skal i hvert fald have mange tak for hjælpen :)

Brugbart svar (0)

Svar #12
24. oktober 2004 af Lurch (Slettet)

Det var så lidt, skulle det være en anden gang!

Skriv et svar til: Differentiering af sammensat funktion

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.