3-dimensionel opgave

Du får lidt input her: Brug cylinderkoordinater (det er meget mere kringlet at bruge kartesiske koordinater her). Rumfanget af en region D lad os sige i en af kvadranterne, hvor 0≥z≤1, pi/4≤θ≤pi/2, og integranden er x²+y²=r², så er rumfanget af dette område givet ved trippelintegralet ∫∫∫(x²+y²)dV=∫dz∫dθ∫r²rdr med de relevante grænser indsat.

 super godt input. var selv ved at ridse områderne op med integral. Man kan f.eks. også bruge en kvadratrod

 men et lille problem. Integralet, kan du få den til at gå op? Det ser ud som om mathcad går lidt kold i beregningerne, ti-89 har åbenbart lidt nemmere ved det. Kan se at resultatet med cylinderkoordinater giver et godt og meget præcist resultat.

Prøv at sende mig det, du har lavet i Mathcad, har selv Mathcad, jeg er ved at skitsere volumenelementet, så en tegning ville være alletiders til det her. Du kan sende den til min mail [email protected] Her lige en del ting, jeg skal lave først i eftemiddag.

 det er sådan set kun den integral opstilling du har lavet..ti-89 kan sagtens.  Jeg har skitseret noget du kan se. 

Har vi noget nyt? Synes den måde du gav mig var lidt kringlet, også pga. det ligger op til man bruger integral

#1.

Benyt i stedet polære koordinater i et dobbeltintegrale, hvor 0≤r≤1.

Hvis jeg ellers har sat grænserne rigtigt ind, så skulle det blive 3*pi/8. Hvad får du selv? 

Har spekuleret på, at da nu figuren er så symmetrisk som den er, så vil sfæriske koordinater nok være på sin plads her (når man betragter et volumenelement. Så er dV=ρ²sinφdρdφdθ. Der er så 10 sådanne flader på figuren. Så skal vi finde grænserne. det arbejder jeg lidt med i løbet af dagen. Det er netop på grund af symmetrien, at vi måske skal bruge disse koordinater.

#9.

Det kan laves med et dobbeltintegrale. Glem sfæriske koordinater.

Tegn en skitse. Når tre cylindre med samme radius r skærer hinanden (i samme punkt og vinkelret på hinanden) må vi kunne skrive (med 0≤θ≤π/4 og 0≤s≤1):

V = 16 · r³ · (∫[0;π/4] dθ ∫[0;1] (s·√(1 - s²cos²(θ)) ds)

   = ((√2)r)³ + 6·(∫[r/√2;r] (2·√(r² - z²))² dz)

   = 8(2-√2)r³

Specifikt for r = 1 fås da V = 16 - 8√2.

(Beklager at forummet er elendigt til integraler.)

 ja det giver jo mening ud fra Erik Morsings volumenelement. 

Det prøver jeg lige at plotte ind og tjekker integralet :)

Tak for hjælp, så er det med at finde en anden lille hjerneopgave

 Tror jeg får det samme som dig darwin - dog har mathcad en del problemer med integralet - ved ikke om det er pga. skrivemåden :-)

Integralet i mathcad 13 er vedhæftet.

 så var det skrevet rigtigt op :)

#13 Jeg får et komplekst tal på det integral, du har skrevet op. Hvad er resultatet? Jeg har vedhæftet min fil med sfæriske koordinater.

#15.

Med integralet i #13 får jeg 4.686 (hvilket virker som en passede værdi ved at sammenligne med en enhedskugle med V = π, som du selv nævner).

Hvis valget skulle stå mellem cylindriske koordinater og sfæriske koordinater ville jeg da klart vælge de cylindriske (da sfæriske koordinater generelt er trælse at arbejde med). Vi kan definere vores grænser for første oktant (og multiplicere med 16).  Så ville man få at 0≤θ≤π/4, 0≤r≤1 og 0≤z≤√(1-(r·cosθ)²).

Umiddelbart har jeg svært ved at forstå hvorfor du lader grænserne gå til π/5.

Jeg har en eksamen i morgen tidlig i biologi, så jeg agter ikke at bruge for meget tid på denne opgave.

#16 nej ok, du skriver "Umiddelbart har jeg svært ved at forstå hvorfor du lader grænserne gå til π/5", sådan som jeg har opfattet tegningen, er der tale om en "terning" hvor der er klippet et stykke af hvert hjørne, sådan at vi får fire ny flader. En sådan flade må derfor spænde over (2*pi)/10 radian. Men måske har jg umiddelbart lidt svært ved at se den rumlige figur for mig.

Jeg har vedhæftet en fil, håber på respons

#18.

For mig at se laver du ikke andet end at udregne (1/4) af en kugles volumen (med r = 1) uden at tage hensyn til, at der faktisk må være tale om en rhombisk dodekaede (12 flader).

Tak for svaret, det er jo rigtigt nok