Udvidelse af integralet

#0 Du skal bruge Riesz' sætning (som du nok kender fra matematisk analyse) ... her er en lidt hurtig skitse af fremgangsmåden:

Lad φ:G→H være en givet kontinuert funktion. Betragt L:v→∫_G<v,φ(g)>dμ(g) ... hvor <·,·> betegner det indre produkt. Det er oplagt af L er en lineær funktional på H. Denne er desuden kontinuert, da

|L(v)|≤∫_G|<v,φ(g)>|dμ(g)≤∫_G||v||·||φ(g)||dμ(g)≤||v||·sup_gεG||φ(g)||<∞ (forklar selv mellemregningerne)

Riesz giver nu at der findes netop én vektor ξεH så <u,ξ>=L(u) for alle uεH. Man definerer således

∫_Gφ(g)dμ(g):=ξ for givet φ kontinuert G→H

... håber det hjalp :)

#1 Tak! Jeg kan godt se hvorfor H skal være seperabel, men hvorfor skal G være kompakt? Er det ikke nok at G er lokalkompakt og μ er unimodulær?

#2 nej ... gennemregn lige ulighederne i #1

Hej Dynin
Mange tak for hjælpen! Metoden i #1 var præcis den fremgangsmåde min vejleder, ville have mig til at bruge :) Jeg forstår ikke helt svaret til #2, men pyt med det, jeg skal kun betragte kompakte grupper.
Jeg har vist, at dette ”integral” er additivt og ”translations”-invariant, men mangler to ting
1) ||∫_Gφ(g)dμ(g)|| ≤ ∫_G||φ(g)||dμ(g)

og, hvis Λ:H₁→H₂ en begrænset operator mellem to seperable Hilbert rum og φ:H₁→G kontinuert, så gælder

2) Λ∫_Gφ(g)dμ(g) = ∫_GΛφ(g)dμ(g)

Nogle hints til dette? Samt, hvorfor kan man af 2) slutte at integralet er lineært?

ad 1) Af Riesz's sætning haves yderligere at ||L||=||∫_Gφ(g)dμ(g)|| hvoraf

||∫_Gφ(g)dμ(g)|| = sup_||v||≤1|∫_G<v,φ(g)>dμ(g)| ≤ ....

ad 2) Du mener vel φ:G→H₁ ... for vilk. vεH₂ haves

<v,Λ∫_Gφ(g)dμ(g)> = <Λ*v,∫_Gφ(g)dμ(g)> = ∫_G<Λ*v,φ(g)>dμ(g) = ....

med H₁=H₂=H og Λ=λ·I_H for λεC giver 2) at λ∫_Gφ(g)dμ(g)=∫_Gλφ(g)dμ(g) ... der sammen med additiviteten giver at det definerede integral er lineært :)

Tak igen :-)

ad 1) Ja jeg kan godt se første del med Riesz sætning. Men den næste regning fatter jeg ikke?

ad 2) Her er jeg vist med (håber jeg, jeg har brugt lang tid på at fatte det :-) Den videre regning er = ∫_G<v,Λφ(g)>dμ(g) = <v,∫_GΛφ(g)dμ(g)> hvoraf man slutter at 2) er sand, ikk?

ad 1) du udnytter at for wεH er ||w||=sup_||v||≤1|<v,w>| således haves

||∫_Gφ(g)dμ(g)||=sup_||v||≤1|∫_G<v,φ(g)>dμ(g)|≤sup_||v||≤1∫_G||v||·||φ(g)||dμ(g)=∫_G||φ(g)||dμ(g)

ad 2) Yes :)

hjælp mig skal op på mandag analyse og fortolkning af de onde aar