Matematik

Differentiering af logistisk vækst funktion

27. april 2009 af himsen (Slettet)

Hej

Er i gang med en differentiering af den fuldstændige løsning til differential ligningen dy/dx = a*y(M-y) som har løsningen f(x) = M / (1+C*e^-a*M*x)

Jeg differentiere denne løsning for at bestemme om den er korrekt.

Er gået i stå udregningen: a*( M/(C*e^-a*M*x+1) ) * (C*M*e^-a*M*x/ (C*e^-a*M*x+1) )

Hvor sidste led: (C*M*e^-a*M*x/ (C*e^-a*M*x+1) ) skal være lig med: M - ( M / (C*e^-a*M*x)

Så altså (C*M*e^-a*M*x/ (C*e^-a*M*x+1) ) bliver til: M - ( M / (C*e^-a*M*x) , men kan ikke se hvordan dette skulle være muligt?

Mvh Himsen

Brugbart svar (0)

Svar #1
27. april 2009 af peter lind

Venstre side

f'(x) = M*C*a*Me^-a*M*x/(1+Ce^-a*m*x)²

Højre side

a*y(M-y)=aM(M-M/(1+M/(1-C*e^-a*M*x)/(1+Ce^-a*m*x) =aM²(1-1/(1+Ce^-a*m*x)/(1+Ce^-a*m*x)=aM2((1+Ce^-a*m*x-1)/(1+Ce^-a*m*x)=

Brugbart svar (0)

Svar #2
27. april 2009 af mathon

se
http://peecee.dk/upload/view/167099

Brugbart svar (0)

Svar #3
13. december 2016 af cecjea (Slettet)

Jeg kan ikke se overstående. Er der en, som kan uddybe differentiationen? :)

Brugbart svar (0)

Svar #4
13. december 2016 af peter lind

Du kan skrive f(x) = M/g(x) hvor g(x) = 1+c*e^kx. Der gælder at f'(x) = M*g'(x)/g(x)². Det kan fås ved enten at bruge reglen for differention af en kvotient eller ved brug af differentiation af sammensat funktion

g'(x) = c*k*e^kx

Brugbart svar (0)

Svar #5
13. december 2016 af mathon

Hvis
$f(x)=y=\frac{M}{1+Ce^{-aMx}}\Leftrightarrow\mathbf {\color{Red} Ce^{-aMx}}=\frac{(M-y)}{y}\; \; \; \; \; \;\; \; \; \; 0<y<M$

er
$f{\, }'(x)=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{-M}{\left (1+Ce^{-aMx} \right )^2}\cdot Ce^{-aMx} \cdot \left ( -aM \right )=$

$a\cdot \frac{M}{1+Ce^{-aMx} }\cdot \frac{M}{\left (1+Ce^{-aMx} \right )}\cdot \mathbf{\color{Red} Ce^{-aMx}} =$

$a\cdot y^2\cdot \frac{(M-y)}{y} =$

$a\cdot y\cdot \left ( M-y \right )$

Skriv et svar til: Differentiering af logistisk vækst funktion

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.