Topologi – Kontinuert lineær funktion

#0 med |Tx|<=Mp(x) mener du vel |Tx|≤Mp(x) ikk :)

Sæt K:={λεL | |λ|<1} og V(p,n):={xεX | p(x)<1/n}, nεN. Da T er kontinuert vil T^-1(K)  indeholde ∩_i=1ⁿV(p_i,m_i) for passende p₁,…,p_nεP og m₁,…,m_nεN. Vælg, ved den opad filtrerende egenskab, pεP og MεN så V(p,M) er indeholdt i ∩_i=1ⁿ V(p_i,n_i). Så haves

(*) p(x)<1/M ⇒ |Tx|<1

Dette giver påstanden ... for er |Tx|>Mp(x) for et x i X så sættes y:=x/|Tx| (som er veldefineret da Tx≠0) og man har p(y)=(1/|Tx|)p(x)<(1/Mp(x))p(x)<1/M. (*) giver nu at |Ty|<1, men .............. |Ty|=|T(x/|Tx|)|=|Tx|/|Tx|=1 #
 

Hej Dynin!
Mange tak for dit svar! Vi bruger lidt anden notation end dig og dit bevis er lidt hurtigt, men ganske overbevisende:-) Jeg har skrevet det lidt om og håber du gider at, se det igennem:
Vi bruger K(0,1) for K og B_p,n for V(p,n) - det skriver jeg derfor ikke i besvarelsen.
Da T er kontinuert er T^-1(K(0,1)) en åben omegn af 0 i X, dvs. der per definition af topologien findes et n i N og (p_i,m_i) så T^-1(K(0,1)) indeholder ∩₁ⁿ B_pi,mi. Og da P er opad filtrerende findes et M og et p således at ∩₁ⁿB_pi,ni indeholder B_p,M, dvs. T^-1(K(0,1)) indeholder B_p,M eller skrevet
(*) p(x)<1/M => |Tx|<1
Man ser indirekte at (*) giver påstanden: Hvis der findes et x i X så |Tx|>Mp(x) ser man ved at sætte y=x/|Tx| (som er veldefineret da Tx≠0) at
• p(y)=p(x/|Tx|)=p(x)/|Tx|<p(x)/(Mp(x))=1/M som ved (*) giver |Ty|<1, men
• |Ty|=|T(x/|Tx|)|=|Tx|/|Tx|=1
som er en modstrid, hvoraf påstanden følger.
 

#2 ser fint ud ... :)