Matematik

trigeometriske ligninger

06. december 2004 af Windcape (Slettet)

Hej

Hvordan udregner jeg denne ?

cos(x) = 0,25 i intervallet [ -pi ; pi ]

Har ikke helt fået fat i det med intervaller i undervisningen, så kunne godt bruge lidt hjælp .

Brugbart svar (0)

Svar #1
06. december 2004 af Peden (Slettet)

Prøv at tegne det ind i et koordinatsystem, så kan det være du kan se det.

Brugbart svar (0)

Svar #2
06. december 2004 af Epsilon (Slettet)

Tegn fx en enhedscirkel og afsæt med udgangspunkt i origo (0,0) en vinkel x, med nedre vinkelben som skærer enhedscirklen og øvre vinkelben langs x-aksen. Dvs. vinklen ligger under x-aksen.

Så er projektionen af nedre vinkelben på x-aksen

cos(x)

og projektionen af nedre vinkelben på y-aksen er i øvrigt sin(x).

Hvis du har haft om vektorer, vil du også vide, at en enhedsvektor som danner vinklen v med x-aksen i enhedscirklen har koordinater

(cos(v),sin(v))

og du ønsker at bestemme radianvinklen v E [-pi;pi], som opfylder, at

cos(v) = 0.25

Bliver du klogere af det?

//Singularity

Svar #3
06. december 2004 af Windcape (Slettet)

Det er mest selve udregningen jeg er ude efter.

Da svaret ikke er x = acos(0,25) ,
har prøvet at optegne den og det hele,
Men det er noget med at der skal gangnes med p*pi eller noget i den stil, hvor p er en eller andet underlig variablen,
og det er det som jeg ikke kan forstå.

Brugbart svar (0)

Svar #4
06. december 2004 af erdos (Slettet)

p * 2pi

2pi er enhedcirklens omkreds, og p skal på den baggrund blot indgå i Z. Så beskrives alle løsninger...

OK?

Brugbart svar (0)

Svar #5
06. december 2004 af Epsilon (Slettet)

#3: Undgå at skrive 'acos', da det kan forveksles med 'a*cos'. Du mener naturligvis 'arccos'.

Det ER blandt andet radianvinklen

x = arccos(0.25)

du er ude efter. Cosinusfunktionen er symmetrisk om y-aksen, dvs. funktionen er lige;

cos(x) = cos(-x)

og antager alle værdier i intervallet [-1,1], når x tager værdier i [-pi/pi].

Så radianvinklerne

x1 = arccos(0.25) ~ 0.42*pi
x2 = -arccos(0.25) ~ -0.42*pi

vil løse den foreliggende ligning. Er du med på ræssonementet?

//Singularity

Brugbart svar (0)

Svar #6
06. december 2004 af Epsilon (Slettet)

#5: Jamen det går jo ualmindelig godt for mig i dag :P

Rettelse: [-pi/pi] -> [-pi;pi]

//Singularity

Svar #7
06. december 2004 af Windcape (Slettet)

ja, med acos mente jeg arccos eller cos^-1

bare en vane fra mathcad at skrive acos :)

Og tro at jeg måske er ved at forstå det.
Prøve at regne videre, og vender så tilbage.

Mange tak for svarene.

Svar #8
07. december 2004 af Windcape (Slettet)

hej igen, kan det passer at resultatet er:

x = 1,047rad + p*2pi
og
x = -1,047rad + p*2pi

?

Brugbart svar (0)

Svar #9
07. december 2004 af Epsilon (Slettet)

#8: Nej, ikke just. Ligningen

cos(x) = 0.25, x E [-pi;pi]

har i hvert fald løsningen

x = arccos(0.25) = 1.318116... (1)

Da cos er lige;

cos(x) = cos(-x)

konstaterer vi, at

x = -arccos(0.25) = -1.318116... (2)

også er en løsning. Cos er periodisk med periode 2*pi, så løsningerne nærmest (1) og (2) er

x = -arccos(0.25) +/- 2*pi
x = arccos(0.25) +/- 2*pi

men ingen af disse ligger i intervallet [-pi;pi] (tjek selv efter).

Dermed er (1) og (2) de eneste løsninger.

//Singularity

Skriv et svar til: trigeometriske ligninger

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.