Matematik

Isolation af y i differentialligning

07. december 2004 af Jensus (Slettet)

dy/dx = -xy3 y > 0

Jeg sepererer variablerne og kommer frem til:

-0,5y^-2 = -0,5x^2

Hvordan får jeg isoleret y, potenserne forvirrer mig lidt.

Brugbart svar (0)

Svar #1
07. december 2004 af /quillity (Slettet)

hvordan får du potenserne ind i billedet?

Det du skriver, er det:

dy/dx=-x*y*3 ?

hvorfor ikke bare:
1/3y dy=-x dx ?

Svar #2
07. december 2004 af Jensus (Slettet)

Jeg integrerer jo begge sider ved seperationen.

Brugbart svar (0)

Svar #3
07. december 2004 af Kay (Slettet)

-0,5y^-2 = -0,5/y^2

hjælper det.

Brugbart svar (0)

Svar #4
07. december 2004 af 1. Charlotte (Slettet)

Jeg skulle mene at man ved seperation af de variable skulle skrive:
dy/dx = -3xy

=> intgrl(1/y dy) = intgrl(-3x dx)
Den skal så løses...
Jeg får det til y = e^(-3/2x^2) + k
(hvis man lige husker på at integralet af 1/y er lny)

Svar #5
07. december 2004 af Jensus (Slettet)

Arg, jeg har lavet en fejl i den oprindelige ligning. Der står dy/dx = - xy^3

Dumme mig :(

Brugbart svar (0)

Svar #6
07. december 2004 af Epsilon (Slettet)

#5: Det var rart med lidt oplysning :)

dy/dx = -x*y^3, y>0

og dermed

dy/y^3 = -x dx

hvoraf

-1/(2y^2) = (-1/2)*x^2 + k

hvor k er en arbitrær konstant, hvis værdi kan fastlægges ved at introducere en begyndelsesbetingelse. Så vi ser, at

1/y^2 = x^2 + c

hvor c = -2k er en konstant. Heraf kan en forskrift for y=f(x) findes, idet man respekterer restriktionen y>0.

//Singularity

Brugbart svar (0)

Svar #7
07. december 2004 af Hamborg (Slettet)

Danke! Sad netop med den samme opgave og var gået i stå...

Svar #8
07. december 2004 af Jensus (Slettet)

Jeg er desværre ikke blevet meget klogere, på trods af jeres forsøg. Sagen er den at jeg skal bestemme en løsning, hvor at grafen går gennem punktet (0,3). Jeg havde forestillet mig at jeg skulle isolere y helt, for at derefter indsættet koordinaterne. Er det ikke tilfældet, eller hvad?

Brugbart svar (0)

Svar #9
07. december 2004 af Epsilon (Slettet)

#8: Jamen det er jo en begyndelsesbetingelse (jf. #6). En anden gang så skriv lige alle oplysninger i indlægget først.

Vi ser ifølge #6, at

y^2 = 1/(x^2 + c) => y = 1/sqrt(x^2 + c)

idet restriktionen y>0 gør, at vi må forkaste den negative løsning. Nu er

y(0) = 1/sqrt(c) = 3

hvoraf du kan bestemme c. Dermed har du den partikulære løsning til differentialligningen

dy/dx = -x*y^3, y>0

som opfylder, at y(0)=3.

Er du med nu?

//Singularity

Svar #10
07. december 2004 af Jensus (Slettet)

Ja, jeg er med. Det var egentligt bare for jeres nemheds skyld at jeg undlod at skrive det, da jeg normalt, når jeg løser den type opgave, bare isolerer y, og derefter går udfra den ligning.

Tak.

Svar #11
07. december 2004 af Jensus (Slettet)

Okay, så c er altså 0,333...

Nu skal jeg så bestemme tangenten for grafen i det samme punkt, altså P(0,3). Hvordan gør jeg det?

Jeg går udfra
y = ax + b
y må være 3, x må være 0.
Dvs. 3 = a + b

Og hvadså?

Brugbart svar (0)

Svar #12
07. december 2004 af Epsilon (Slettet)

#11: Brug den oplysning der ligger i en differentialligning:

dy/dx = -x*y^3, y>0

Det er jo differentialkvotienten f'(x) af funktionen y = f(x).

En ligning for tangenten til grafen for f i P(x0,f(x0))=(0,3) er

y = f(x0) + f'(x0)(x-x0) (1)

Her er x0 = 0, så du skal evaluere (udregne) f(0) og f'(0) og indsætte i (1) for at få en ligning for tangenten.

//Singularity

Svar #13
10. december 2004 af Jensus (Slettet)

Jeg er ikke med :(

Brugbart svar (0)

Svar #14
10. december 2004 af sigmund (Slettet)

Jo, du har en differentialligning, som du kan finde f'(0) ud fra ved at indsætte x = 0 og y = 3. Desuden har du en løsning y, som du kan finde f(0) ud fra ved at indsætte x = 0, og udregne y. En ligning for tangenten til grafen i punktet P(0,3) er så, som #12 påpeger, y = f(0)+f'(0)*(x-0).

Skriv et svar til: Isolation af y i differentialligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.