Bevis - Rumgeometri

Afstanden mellem to punkter i rummet bruger man bare Phytagoras.

et punkts afstand til en plan i rummet
udledes i analogi med et punkts afstand til en ret linje i planen
til

(ax+by+cz+d)/√(a²+b²+c²) = dist

specifikt for tangentplanen til kuglen med centrum i (e,f,g) og radius r

(ae+bf+cg+d)/√(a²+b²+c²) = r
eller

ae+bf+cg+(d-r√(a²+b²+c²)) = 0
 

Ligningen for en kugle med centrum i C= (a,b,c) og radius r er

(x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=r²

For tangentplan i P_o= (x_o,y_o,z_o) gælder at

normalvektoren til tangentplanen er sammenfaldende med CP_o =(x_o-a,y_o-b,z_o-c)

planets ligning bliver da

(x_o-a)(x-x_o)+(y_o-b)(y-y_o)+(z_o-c)(z-z_o)=0 lægges

(x_o-a)²+(y_o-b)²+(z_o-c)²=r²                      til og der sættes udenfor parentes fås

(x_o-a)(x-x_o+x_o-a)+(y_o-b)(y-y_o+y_o-b)+(z_o-c)(z-z_o+z_o-c)=r²  trækkes sammen til

(x_o-a)(x-a)+(y_o-b)(y-b)+(z_o-b)(z-b)=r²

der er ligningen for tangentplanen gennem (x_o,y_o,z_o)

...hvoraf

når
røringspunktets koordinater ikke kendes

kuglens tangentplan
har ligningen

ax+by+cz+d = 0
med
d = r√(a²+b²+c²)-ae-bf-cg

#3

(x_o-a)(x-a) + (y_o-b)(y-b) + (z_o-c)(z-c) = r²
som let huskes når
kuglens ligning

(x-a)² + (y-b)² + (z-c)² = r² 
skrives

(x-a)(x-a) + (y-b)(y-b) + (z-c)(z-c) = r²              med tilføjelse af indeks o i begyndelsen af de tre led

(x_o-a)(x-a) + (y_o-b)(y-b) + (z_o-c)(z-c) = r² 
 

#4

Hvad er (a,b,c) og (e,f,g)?

regner med at det ene er kuglens centrum. Når man ikke kender røringspunktet, hvad kender man så?

Hvorfor skriver du ikke oplysninger om betydningen af alle de bogstaver du bruger?

Så ville dine matematiske sætningermåske  give mening for andre.

Kan man ikke stoffet i forvegen skal man ofte gætte meningen.

(e,f,g) finder den opmærksomme læser oplysning om i #2

medens det for den sarkastiske kommentator i #6
oplyses, at

[a,b,c] er tangentplanens normalvektor,
som det vil være bekendt for matematikudøvere, der har beskæftiget sig blot minimalt med planens ligning
 

...som en "udbygning" af
linjens ligning i planen

ax + by + c = 0                         hvor linjens normalvektor n = [a,b]

til planens ligning i rummet

ax + by + cz + d = 0                 hvor planens normalvektor n = [a,b,c]

helt i tråd med
at
tangenten til cirklen med centrum (d,e) og radius r
     (x_o-d)(x-d) + (y_o-e)(y-e) = r²                       med kendskab til røringspunktet (x_o,y_o)

     ax + by + c = 0
     med
     c = r√(a²+b²) -ad-be                                  når røringspunktet ikke er kendt

ovenstående bringes her i oversigt

Undskyld!

Jeg troede du var her for at hjælpe, men alligevel forventer du at man ved i forvegen at du kalder normalvektoren (a,b,c). For mig er det centrum for cirklen, men mine bøger er jo også lidt ældre end dine.

Om man kender centrum og røringspunkt eller kender centrum og normalvektor til kuglen giver jo ikke den store forskeld.