Matematik

MATEMATIK

20. december 2004 af Christina2004 (Slettet)

Når radioaktive stoffer henfalder, gølder følgende sammenhæng mellem den tilbageværende mængde radioaktivt materiale og den oprindelige mængde radioaktivt materiale:

Y(t)=N*e^-kt

Hvor y(t) er den tilbageværende mængde radioaktivt materiale til tiden t, målt i år, og N er mængden af radioaktivt materiale til tiden 0; k er en konstant der kaldes henfaldskonstanten.
Uran er et radioaktivt stof der findes i to former, U-235 og U-238, som begge henfalder til andre stoffer. U-235 henfalder med en halveringstid på 0,7 milliarder år og U-235 henfalder med en halveringstid på 4,5 milliarder år.

Bestem de to stoffers henfaldskonstanter.
På nuværende tidspunkt findes der i jorden uranmalm ca. 140 gange så meget U-238 som U-235.
Beregn jordens omtrentlige alder under antagelse af, at der ved jordklodens tilblivelse fandtes samme mængde af de to slags uran.

ER DER IKKE NOGEN SOM VED HVAD MAN SKAL GØRE I DENNE OPGAVE JEG ER NEMLIG HELT LOST.

på forhånd tak.

Brugbart svar (1)

Svar #1
20. december 2004 af Katty (Slettet)

Du ved, at halveringskonstanten/fordoblingskonstanten for en eksponentialfunktion er:

ln(2)/k

Du skal finde henfaldskonstanten k, som er halveringskonstanten. Du har en forskrift:
Y(t)=N*e^-kt

Du har halveringstider for stofferne, dvs. du skal løse følgende ligningerne, altså isolere k: (der regnes i mia. år)

0,7=ln(2)/k (U-235)
4,5=ln(2)/k (U-238)

Du ved, at der på nuværende tidspunkt findes der i jorden uranmalm ca. 140 gange så meget U-238 som U-235. Du ved altså, at:

Y(t) = N*e^-k*t

samt at:

Y(t) = 140N*e^-kt

Begge k'er har du fundet. Sæt ovenstående forskrifter lig hinanden og isoler t.

Brugbart svar (1)

Svar #2
20. december 2004 af Katty (Slettet)

Rettelse :)

Du ved, at der på nuværende tidspunkt findes ca. 140 gange så meget U-238 som U-235 i Jordens uranmalm. Du ved altså at:

Brugbart svar (1)

Svar #3
20. december 2004 af Katty (Slettet)

Hvis du gør det korrekt, er Jorden ca. 5,9 mia. år.

Svar #4
21. december 2004 af Christina2004 (Slettet)

a)
(U-235):

0,7=ln(2)/k <=>

ln(2)/0,7 =k <=>

0,9902=k

(U-238):

4,5=ln(2)/k <=>

ln(2)/4,5=k <=>

0,15403=k

b)

140N*e^-k*t = N * e ^-k*t
(140N*e^-kt)/N=e^-kt
140*e^-kt=e^-kt
140*e^-k * e^t = e^-k * e^t
(140*e^-k *e^t)/e^-k = e^t
140*e^t=e^t

ved ikke helt hvordan jeg kan isolere t har nogle problemer.

Brugbart svar (1)

Svar #5
21. december 2004 af Katty (Slettet)

Den omvendte funktion til e^x er ln. Kan du nu?

Brugbart svar (1)

Svar #6
21. december 2004 af Katty (Slettet)

Forresten, husk at indsætte de fundne værdier af k i ligningerne:

140N*e^-0,15403*t = N * e ^-0,9902*t

Brugbart svar (1)

Svar #7
21. december 2004 af Epsilon (Slettet)

#4: Pas på - de to uranisotoper har IKKE samme henfaldskonstant - kald dem k1 og k2. Så er

k1 = ln(2)/0.7 (U-235)
k2 = ln(2)/4.5 (U-238)

med enheden Gy^(-1) (gigaår i minus første).

Benytter vi oplysningen, at der på nuværende tidspunkt findes ca. 140 gange så meget U-238 som U-235 i Jordens uranmalm, så er

y1(t) = N(U-238)*exp(-k1*t)
y2(t) = N(U-235)*exp(-k2*t)

y1(t) = 140*y2(t)

og idet det antages, at N(U-238) = N(U-235) ved Jordens dannelse, har vi

N(U-238)*exp(-k2*t) = 140*N(U-238)*exp(-k1*t)

hvoraf

140 = exp(-k2*t)/exp(-k1*t)

som løses for t(Går). Denne værdi er en på nuværende tidspunkt bredt accepteret værdi for Jordens alder.

//Singularity

Brugbart svar (1)

Svar #8
21. december 2004 af Epsilon (Slettet)

#7: Korrektion:

y1(t) = N(U-238)*exp(-k1*t)
y2(t) = N(U-235)*exp(-k2*t)

Der skal byttes om på N(U-235) og N(U-238). Dermed skal

y1(t) = 140*y2(t)

i stedet være

y2(t) = 140*y1(t)

Det får ingen betydning for de efterfølgende ligninger, som er korrekt stillet op.

//Singularity

Svar #9
22. december 2004 af Christina2004 (Slettet)

ser det nogenlunde rigtigt ud:

140 = exp(-k2*t) / exp(-k1*t)

140= (e^-k2*t) / (e^-k1*t)

140=(e^-k2 * e^t) / (e^-k1 * e^t)

(140 / e^-k2) *e^-k1=(e^t / e^t)

Skal man så tage ln på begge sider.

ln(140/e^-k2)*ln(e^-k1) = (ln(e)*t) / (ln(e)*t)

og så kan jeg ikke komme videre må man egentlig forkorte den højere side med ln(e).

Svar #10
22. december 2004 af Christina2004 (Slettet)

Er den her måde måske bedre:

Y2(t)=140*exp(-0,15403*t)
Y2(t)=140*(e^-0,15403t)
Y2(t)=140*(e^-0,15403)^t
Y2(t)=140*t*ln(e(-0,15403))

og Y1(t) må så være t*(ln(e*(-0,9902)

altså når vi nu sætter Y1(t)=Y2(t) får vi.

t*(ln(e*(-0,9902)= 140*t*ln(e(-0,15403))

(t*(ln(e*(-0,9902)) / (ln(e(-0,15403))) = 140t

(t*(ln(e*(-0,9902)) / (ln(e(-0,15403))*140) = t

men nu ved jeg heller ikke hvordan jeg skal får den ene t til at står på højre side kan i hjælpe mig med det?

Brugbart svar (1)

Svar #11
22. december 2004 af Epsilon (Slettet)

#9,10: Nej, det er forkert. Du skal bruge dine potensregneregler. Se her:

140 = exp(-k2*t)/exp(-k1*t) = exp((k1-k2)*t) => ln(140) = (k1-k2)*t

idet exp og ln er hinandens inverse. Dermed finder vi, at

t = ln(140)/(k1-k2)

som du let kan udregne. Værdien afviger godt nok noget fra den til dato mest accepterede værdi for Jordens alder: 4.6 Går.

//Singularity

Brugbart svar (1)

Svar #12
23. december 2004 af fox_joker14 (Slettet)

burde vist ha været "FYSIK"...

Brugbart svar (1)

Svar #13
24. december 2004 af Katty (Slettet)

Næææ, opgaven står i Matematik for B-niveau

Skriv et svar til: MATEMATIK

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.