{JF} - Integraler vol. 1

Udtrykket kan forkortes til (1+log(x)/(1-x). Integranten kan så spilttes op, så vi reels står med ∫log(x)/(1-x)dx. Vi kan så bruge delvis integration, idet vi sætter U=log(x) og dU=1/xln(10) og dV = ....? Er jeg på rette spor?. Jeg får 1-(pi²/6 / (6ln(10)))

Udtrykket kan forkortes til ∫₀¹ 1 / (1-x²)^0,5 dx + ∫₀¹ logx / (1 - x) dx.

Det var dét, du mente?

jeg havde ikke bemærket parentesen efter 1-tallet og efter dx, men så får vi 1/(1-x²)^0,5 og resten fordi ((1-x)²)^1/2 = 1-x

der samlet giver 2-pi²/6*1/ln(10)

#3 Okay. Opgaven går ud på at bevise resultatet.

Ja det kan jeg også godt, men lad nu de andre kloge hoveder kigge på det, den er jo nem ikke? Og jeg behøver vel ikke komme med resultatet først. De gange jeg selv har sat opgaver ind, er der aldrig nogle, der har svaret mig, så det bliver man lidt træt af. Men jeg kan give et hint. Substituer med en tilpas invers trigonometrisk funktion.

OK, i den første, sæt x=sin(v)<=>dx=cos(v), og for 0≤x≤1 <=> 0≤sin(v)π/2, så det første integral giver π/2

Så napper jeg det andet integral :-) Her bruger man Maclaurinrækken for ln(1-x) [der er valid for -1≤x<1]:

#6 et alternativ ... man husker at x→arcsin(x) differentieret giver x→(1-x²)^-½ hvoraf ∫₀¹(1-x²)^-½ dx=arcsin(1)-arcsin(0)=π/2

Resultatet er således π/2-π²/(6ln(10))

Jep, det ser godt ud drenge! ;-)

Jeg har lagt min løsning ind på "Julieaften"-problemet. "Integraler vol. 2" er endnu uløst, kan jeg se. Det er ellers den første opgave under kategorien MELLEM.