Bestem lim. x*(ln(x+1)-ln(x)) for x gående mod uendelig

f(x) = x(ln(x+1)-ln(x)) = x·ln((x+1)/x) = x·ln(1+(1/x))

Du får et hurtigt svar fra mig. Ønsker du detaljer, kan du få dem senere.

f(x) = x(ln(x+1)-ln(x)) = x·ln((x+1)/x) = x·ln(1+(1/x))= ln(1 +1/x) / (x^-1)

lim f(x) = lim [1/(1 + 1/x)] (-x^-2) / (-x^-2) = lim [1/ (1 + 1/x)] = 1

Tak for hjælpen.

#2  DE detaljer vil jeg gerne se

Du får et hurtigt svar fra mig. Ønsker du detaljer, kan du få dem senere.

f(x) = x(ln(x+1)-ln(x)) = x·ln((x+1)/x) = x·ln(1+(1/x))= ln(1 +1/x) / (x^-1)    Denne omskrivning er vist ikke i min bog

lim f(x) = lim [1/(1 + 1/x)] (-x^-2) / (-x^-2) = lim [1/ (1 + 1/x)] = 1     Hvad blev der af ln ???

f(x) = ln[ (1+1/x)^x ]     og   lim ((1+1/x)^x )  = e¹      så lim f(x)  = ln(e¹)  = 1.

Hvorfor er x(ln(x+1)-ln(x))=ln(1+1/x) / (x^-1) ???:

Du vil gerne opskrive udtrykket så det står på formen "0/0".

Hertil anvender du nogle logaritmeregneregler, som siger:

ln(a/b)=ln(a)-ln(b) => ln((x+1)/x)=ln(x+1)-ln(x)

Herefter kigger han på hvad (x+1)/x kan omskrives til; (x+1) / x = x/x + 1/x = 1 + 1/x hvorfor
ln(x+1) - ln(x) = ln((x+1)/x) = ln(1+1/x)

Nu skal dette udtryk jo multipliceres med x. Men at gange et tal, x, er jo det samme som at dele med den reciprokke, 1/x

Hvorfor

x(ln(x+1)-ln(x))=ln(1+1/x) / (1/x)

Hvad blev der af ln???

Her anvender han L'Hôpitals regel

lim f(x) / g(x) = lim f '(x) / g '(x)

vi kalder f(x)=ln(1+1/x) og g(x)=1/x

f(x) = ln(1+1/x) Vi anvender kædereglen og ser f(x) har differentialkvotienten f '(x) = (1/ (1+1/x))*(-x^-2)    

g(x)=1/x har differentialkvotienten g '(x)= -x^-2

Nu skal vi blot dele de to udtryk med hinanden og se hvad det går mod når x går mod uendeligheden.

Husk (-x^2) / (-x^2) =1, hvorfor

lim {[1/ (1+1/x)]*[-x^-2]} / [-x^-2] = lim[1/ (1+1/x)] = 1 for x→∞

#5 Netop.

#4 Man behøver ikke at se på grænseværdien for e. PedeV forklarer grundigt mine udregninger.