Matematik
{JF} - 2. gradsligning
Kategori: NEM
Lad f(x) = ax2 + bx + c være givet, hvor
a,b,c ∈ R, a≠0. Ydermere opfylder f følgende betingelser
1) x ∈ R, f(x - 4) = f(2 - x) og f(x) ≥x.
2) x ∈ (0,2) , f(x) ≤ [(x + 1) / 2]2
3) Minimumsværdien af f(x) på R er 0.
Find det maksimale m (m>0) således at der findes et t ∈ R så
f(x + t) ≤ x for x ∈ [1,m].
Svar #1
24. september 2009 af Fourier (Slettet)
Jeg lægger min løsning ud i morgen. Hvis I ønsker mere tid så giv mig besked.
Svar #2
25. september 2009 af Fourier (Slettet)
Da f(x - 4) = f(2 - x) , x∈R, har vi, at f har x=-1 som symmetriakse. Ydermere gælder der for a>0
f(x) = a(x + 1)2.
Fra 1) og 2) har vi, at f(1)≥1 og f(1)≤ [(1+1) / 2]2 = 1.
Dermed er f(1) = 1. Dvs. a(1 + 1)2 = 1, så a = 1/4.
Derfor er f(x) = 1/4 · (x + 1)2
Grafen vokser opad. Hvis vi vil have grafen y = f(x + t) til at ligge under grafen y = x, når
x ∈ [1,m], og m er maksimal, da 1 og m begge skulle være rødder i 1/4 (x + t + 1)2 = x.
Sæt x = 1 og vi får t = 0 eller t = -4.
Når t = 0 fås x1 = x2 = 1.
Når t = -4 fås x1 = 1 og x2 = 9.
Når t = -4 for x ∈ [1,9] har vi altid (x-1)(x-9) ≤0
⇔ 1/4 (x - 4 + 1)2 ≤ x.
f(x - 4) ≤ x.
Dermed er det maksimale m = 9.
Skriv et svar til: {JF} - 2. gradsligning
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.