Fourier analyse

Hmmm, ved ikke hvorfor den ikke vedhæfter i den første.
Men her er den vedhæftede fil.

#0 hvad er sup{ |f(x)| | x∈[0,1] } for et vilkårligt n ...

sup ?

#3 supremum http://da.wikipedia.org/wiki/Supremum ... det må i da have stødt på ved definition af uniform konvergens?

Det kan jeg ærligt svare nej til...
Der står intet om det i nogle af de bøger vi bruger - så desværre :S

Men det er måske nok at se, at når 0 < x < 1/n, så vil den jo aller højest kunne blive 0 < x < 1 hvis n = 1, ellers kun mindre. Så derfor vil den vil ikke kunne konvergere mod 0, da funktionen er 1 fra 0 < x < 1/n, og når 1/n max. kan være 1, så vil den jo blive nødt til at "springe" ned til 0 derefter, deraf 0 ellers, og derfor kan den ikke være uniform konvergent, eller...?
 

#5 så skriv lige hvordan I definere uniform konvergens ...

Fx.  http://www.k-jerslev.dk/Docs/formelsamling.pdf side 4.

#8 der står ingen definition ... og opgaven handler vel mere om konvergens i forskellige normer end om fourier rækker.

Som du selv viser konvergere følgen f_n mod 0 i L²-norm ... og mangler at vise at den ikke konvergere i uniform norm (også kaldet sup-norm eller her, hvor intervallet er lukket, max-norm)

Og det er vel her man skal sætte sin epsalon grænse ?

Jo ... du kan godt bruge epsilon-delta metoden på denne ...

Jeps... Men det er her jeg ikke helt har forstået den. Kan jeg i princippet ikke bare sætte min grænse til uendelig, og så vil alt jo være uniformt såfremt det ligger inde i den (Hvilket det jo burde hvis grænsen er uendelig) ?

Det er en diffus definition i pdf-filen. Hvad menes der fx med "glat". Skal en funktion være c^∞ eller blot kontinuert differentiabel. Definer punktvis konvergens ved partialsummer, så for alle x,

∀ε > 0 ∃N_x > 0 : n≥N_x , |S_n(x) - f(x)| < ε

Definer uniform konvergens for en Fourierrække.

∀ε > 0 ∃N>0 : n≥N, |S_n(x) - f(x)| ε for alle x.

Når vi har en diskontinuert step funktion, så forventer vi naturligvis ikke uniform konvergens. Det kan vises på mange måder afhængigt af hvor formelt det skal være. I øvrigt skal du sikkert referere til en sætning i din bog, som jeg ikke kender.

Der findes faktisk funktioner, hvor Fourierrækken ikke konvergerer punktvist mod funktionen. Det er svært at konstruere, men jeg har set en i "Fourier Analysis" af T.W. Körner. Det er ret unikt.

#11 rettelse der indgår ikke et delta

#12 hvis f_n→0 uniformt så skal ∀ε>0: |f_n(x)-0|<ε fvt og for alle x∈[0,1] ... herefter kan du vel godt se hvorfor dette ikke er opfyldt ikk?

Det kommer vel an på hvad ens epsilon grænse er, gør det ikke ?
Hvis jeg sætter den til en ½, så vil f_n(x) - 0 jo blive større end epsilon, da f_n(x) er 1. Men kan jeg så ikke bare sætte epsilon til at være 2 fx. ?

#13 sætningen gælder for "glat" defineret som kontinuert differentiabel. Men har du set JPG filen i #1? Det har vel ikke så meget med Fourier rækker at gøre ... men mere med konvergens i forskellige normer ... eller misforstår jeg opgaven?
 

#15 ∀ er alkvantoren ... dvs det skal gælde for alle! Du tænker på ∃ eksistenskvantoren hvor du bare skal finde en ... det skal du ikke her!

Tror du har ret Dynin. Mit fag hedder bare Fourier Analyse, så det var lige hvad der kom til mig først.

Har du ikke haft lidt basalt matematisk analyse før FA

Løsning (Tegn det op): Afstanden mellem f_n(x) og 0 er 1 når 0≤x≤1/n og 0 ellers. Da 1/n→0 kan man til ethvert 1>ε>0 finde et N så 1/N<ε og dermed er f_N(x)=1 for x∈[0,1/N]  således er |f_n(x)-0|=1>ε for alle n≥N og 0≤x≤1/N ... DONE ;)