{JF} - Algebra vol. 1

a) k=4, p=3 √(k²-3*k) = 2

Der er en sammenhæng mellem k og p.

Så beskriv k ved hjælp af p.

k = 4 og p = 3. Da får vi et naturligt tal 2, som du skriver.

Bevis at k = (p + 1)² / 4. (I dit tilfælde ser vi også, at 4 = (3 + 1)² / 4 = 16 / 4.)

a)

Sæt √(k² - pk) = n, n∈N.

Da har vi, at

k² - pk - n² = 0

k = [p±√(p² +4n²)] / 2

Dvs. p² + 4n² =: m er et perfekt tal.

Så (m - 2n)(m + 2n) = p² .

Da p er et primtal ≥ 2, har vi, at

m - 2n = 1 og m + 2n = p²

Dermed fås

m = (p² + 1) / 2 og n = (p² - 1) / 4

Summa summarum er k = (p ± m) / 2 = [2p ±(p² + 1] / 4.

k = (p + 1)² / 4

b)

Lad § := (2a³ + 27c - 9ab) / u³ .

Hermed har vi, at

§ = 27(2/27 · a³ - 1/3 · ab + c ) / u³

= 27 f(-1/3 a) / u³

= 27 (-a/3 - x₁)(-a/3 - x₂)(-a/3 - x₃) / (x₂ - x₁)³

= -27 (x₁ + a/3)(x₂ + a/3)(x₃ + a/3) / (x₂ - x₁)³

Lad v_i = x_i + a/3 , i = 1,2,3.

Da er v₂  - v₁ = x₂ - x₁ = u

v₃ > (v₁ + v₂) / 2, og v₁ + v₂ + v₃ = x₁ + x₂ + x₃ + a = 0.

§ = -27v₁v₂v₃ / (v₂ - v₁)³

Da v₃ = -(v₁ + v₂) > (v₁ + v₂) / 2 har vi, at v₁ + v₂ < 0.

Så mindst en af v₁ og v₂ skal være strengt mindre end nul.

Antag at v₁ < 0.

Hvis v₂ < 0, da er § < 0.

Hvis v₂ > 0, kan vi ydermere antage

y₁ = -v₁ / (v₂ - v₁), y = y₂ = v₂ / (v₂ - v₁).

Da er y₁ + y₂ = 1, og y₁, y₂ > 0.

y₁ - y₂ = v₃ / (v₂ - v₁) > 0.

Heraf følger det, at

§ = 27y₁y₂(y₁ - y₂) = 27 y(1- y)(1 - 2y)

= 27√[(y - y²)² (1 - 2y)² ]

= 27 √ [ 2 (y - y²)(y - y²) (0,5 - 2y + 2y²)]

≤ 27 √[2 (1/6)³ ]

= (3/2) √3

Uligheden holder, når y = 1/2 · (1 - √3 / 3)

Den tilsvarende kubikligning er x³ - 1/2 x + √3 / 18 = 0 og u = 1.

Husk at x₁ = -1/2 (1 + √3 / 3) , x₂ = 1/2 (1 - √3 / 3) og x₃ = √3 / 3.

Heraf kan vi konkludere, at den maksimale værdi er (3/2) ·√3.