Matematik
Bevis 2.g
05. januar 2005 af
Matti17 (Slettet)
Skal bevise flg. sætning. Er beviset korrekt. Altså, er det med matematisk induktion fornuftigt?
Sætning: Hvis f(x) = x^n => f'(x) = n*x^(n-1), x E Z
Bevis: Vi opdeler beviset i tre dele.
1) n E Z_plus
n = 1: f(x) = x^1 = x => f'(x) = 1 = 1*x^0 = 1*x^(1-1)
n = 2: f(x) = x^2 => f'(x) = 2x = 2x^1 = 2x^(2-1)
n = 3: f(x) = x^3 = x*x^2 => f'(x) = 1*x^2 + x*2x = 3x^2 = 3x^2 = 3x^(3-1)
n = n+1: f(x) = x^(n+1) = x^n*x => x^n*1+x*nx^n-1
2) n = 0
n = 0: f(x) = x^0 = 1 => f'(x) = 0 = 0*x^-1 = 0*x^0-1
3) n E Z_minus
n = -1: f(x) = x^-1 =
n = -2: f(x) = x^-2 =
n = -3: f(x) = x^-3 =
n = n-1:
Analogt med 1).
Sætning: Hvis f(x) = x^n => f'(x) = n*x^(n-1), x E Z
Bevis: Vi opdeler beviset i tre dele.
1) n E Z_plus
n = 1: f(x) = x^1 = x => f'(x) = 1 = 1*x^0 = 1*x^(1-1)
n = 2: f(x) = x^2 => f'(x) = 2x = 2x^1 = 2x^(2-1)
n = 3: f(x) = x^3 = x*x^2 => f'(x) = 1*x^2 + x*2x = 3x^2 = 3x^2 = 3x^(3-1)
n = n+1: f(x) = x^(n+1) = x^n*x => x^n*1+x*nx^n-1
2) n = 0
n = 0: f(x) = x^0 = 1 => f'(x) = 0 = 0*x^-1 = 0*x^0-1
3) n E Z_minus
n = -1: f(x) = x^-1 =
n = -2: f(x) = x^-2 =
n = -3: f(x) = x^-3 =
n = n-1:
Analogt med 1).
Svar #1
05. januar 2005 af Duffy
Inden det sidste skridt i 1)
er du nødt til at antage at udsagnet gælder for n=k
dvs antag at (x^k)' = kx^k-1 , for et eller andet helt tal k>=3
så kan man vha produktreglen
skrive
[x^(k+1)]' = [x*x^k]' = x^k*1+x*kx^k-1
Antagelsen om at reglen gælder for k giver os lov til at fortsætte udregningerne
[x^(k+1)]' = x^k*1+x*kx^k-1 =(k+1)*x^k
og dette er den korrekte form af potens-reglen i tilfældet n=k+1.
Så betingelserne i induktionsprincippet er opfyldt og vi kan konkludre at
(x^n)' = n*x^(n-1), for alle n>=1
Duffy
er du nødt til at antage at udsagnet gælder for n=k
dvs antag at (x^k)' = kx^k-1 , for et eller andet helt tal k>=3
så kan man vha produktreglen
skrive
[x^(k+1)]' = [x*x^k]' = x^k*1+x*kx^k-1
Antagelsen om at reglen gælder for k giver os lov til at fortsætte udregningerne
[x^(k+1)]' = x^k*1+x*kx^k-1 =(k+1)*x^k
og dette er den korrekte form af potens-reglen i tilfældet n=k+1.
Så betingelserne i induktionsprincippet er opfyldt og vi kan konkludre at
(x^n)' = n*x^(n-1), for alle n>=1
Duffy
Svar #2
06. januar 2005 af Epsilon (Slettet)
#1: Ja, for alle n E N vel at mærke; ikke for alle n >= 1. Men det ved du naturligvis godt ;)
Til indlægget:
Hvorfor x E Z ? Du mener n E Z, ikke sandt? I øvrigt gælder sætningen ikke generelt for x E Z, idet x^n, n E Z- ikke er differentiabel i 0.
Tilfældet n E Z- kan behandles ved at betragte funktionen
f(x) = x^(-n) = 1/(x^n), x ikke-0
for n E N, idet dette svarer til x^n, n E Z-. Vi har så ifølge kvotientreglen samt beviset for sætningen i tilfældet n E N, at
f'(x) = (-1)*(n*x^(n-1))/(x^(2n)) = (-n)*x^((n-1)-(2n)) = (-n)*x^(-n-1)
for alle n E N, og beviset er færdigt.
//Singularity
Til indlægget:
Hvorfor x E Z ? Du mener n E Z, ikke sandt? I øvrigt gælder sætningen ikke generelt for x E Z, idet x^n, n E Z- ikke er differentiabel i 0.
Tilfældet n E Z- kan behandles ved at betragte funktionen
f(x) = x^(-n) = 1/(x^n), x ikke-0
for n E N, idet dette svarer til x^n, n E Z-. Vi har så ifølge kvotientreglen samt beviset for sætningen i tilfældet n E N, at
f'(x) = (-1)*(n*x^(n-1))/(x^(2n)) = (-n)*x^((n-1)-(2n)) = (-n)*x^(-n-1)
for alle n E N, og beviset er færdigt.
//Singularity
Skriv et svar til: Bevis 2.g
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.