Bevis for homogen 2. ordens differentiallingning: fuldstændig løsning?

Man kan skam godt bruge andre funktioner i dir eks kan man også bruge ½(f1+f2) = cosh(kx) og ½(f1-f2) = sinh(kx). Det giver bare ikke flere løsninger.

Ja okay. Men hvad er det præcise argument for, at det ikke giver flere løsninger?

Se evt. også http://ga.randers-hf-vuc.dk/matlex/difflign.html#k2y  . Der står nederst, at det er nok at gætte 2 uafhængige løsninger. Men hvordan ved man det? :)

Se http://mathworld.wolfram.com/Second-OrderOrdinaryDifferentialEquationSecondSolution.html Wronski determinanten kan findes uden kendskab til nogle løsninger. Hvis man har en løsning, kan man ved hjælp af dette entydigt på nær en multiplkativ konstant finde den anden lineært uafhængig løsning.

Ja det kan jeg godt se, men synes ikke rigtigt, du svarer på mit spørgsmål. Måske er det mig der er besværlig, men jeg kan stadig ikke se noget argument for, at det er den FULDSTÆNDIGE løsning man finder?

Nu er det adskellige år siden jeg havde det her; men så vidt jeg husker kan man også vise det på en anden måde. Lad f₁ og f₂ være 2 lineært uafhængige løsninger. Enhver løsning kan da skrives som y = c₁* f₁+c₂*f₂ hvor c₁ og c₂ eventuelt ikke er konstanter. Man kan så ved at sætte ind i wronski determinanten vise at c₁ og c₂ rent  faktisk er konstanter. Det bemærkes at wronski determinanten for y og f₁ for eks. vil have samme wronskideterminant som for eks f₁ og f₂ på nær en konstant.

Løsningsrummet for en n-te ordens diffrentilaligning er n-dimensionelt. 

Det du bruger wronskideterminanten til er bare at vise at dine to løsninger er linært uafhængige.  Så bruger du lidt viden om lineær algebra til at sige at et 2-dimensionelt løsningsrum udspændes af præcis to uafhængige løsninger, så når du har to uafhængige løsninger må enhver løsning kunne skrives som en linearkombination af disse. altså har du en fuldstændig løsning.

Mange tak for svaret.

Nu er jeg ikke så meget inde i lineær algebra, så kan du uddybe lidt, hvad det 2-dimensionelle løsnigsrum er for en størrelse i dette bevis?

Er det der, hvor man har 2 ligninger med 2 ubekendte?

He er en anden måde at se det på. Du kender en løsning y₁ og du ved at der for wronski determinanten W gælde W(y₁,y)) = h(x), hvor h(x) er en funktion du kender og y(x) er en vilkårlig løsning til differentialligningen. Enhver funktion kan skrives som y(x) = g(x)*y₁. Sætter  du det in i udtrykket for wronskideterminanten får du W(y₁,y) = W(y₁, g(x)*y₁) = h(x). Dette er en første ordens lineær differentialligning i g(x), som du kan løse. Det giver g(x) entydigt på nær en integrationskonstant. Samtlige løsninger kan altså skrives som c₁*y₁+g(x)*y₂.

Løsningsrummet er sådan set bare mængden af løsninger, man kan også godt kalde det løsningsmængden. Jeg kalder det løsningsrummet, fordi det er et vektorrum.

Du har vel haft om vektorer i planen? Der er tale om det 2-dimensionellle vektorrum R² (R skulle have været hult for at vise at det var de reelle tal der er tale, men det er ikke så vigtigt). Der er to vektorer linært uafhængige hvis den ene ikke kan skrives som en konstant gange den anden.

Man kan også lave vektorrum med funktioner i stedet for tal. Der er to funktioner linært uafhængige hvis wronskideterminanter er forskellig fra nul.

Hvis man i R² har to lineært uafhængige vektorer a,b∈R²kan ethvert punkt d i planen skrives som en linearkombination af a og b sådan her: d = c₁a + c₂b, fordi R² er et 2-dimensionelt vektorrum. 

Tilsvarende gælder for funktionsvektorrum. Da løsningsrummet er 2-dimensionelt kan vi med to linært uafhængige løsninger skrive alle løsninger som linearkombinationer af disse. løsningsrummet bliver altså alle funktioner der kan skrives som f = c₁f₁+c₂f₂, hvor c₁og c₂er konstanter. Samtidig gælder at linearkombinationen er entydig, så f kan kun skrives på denne måde. 

Jeg beklager, at jeg muligvis har gjort det unødvendigt kompliceret. Det er nok bedre at lytte til hvad peter lind siger.

I skal begge have tak for jeres indsats :) Det er godt nok svært stof, men nu vil jeg lige skrive lidt om, hvordan jeg har forstået det:

For en 2. ordens differentialligning udgør den fuldstændige løsningsmængde et vektorrum af dimension 2 --> for et vektorrum med dimension 2, skal der bruges 2 basisvektorer for at danne en linearkombination (som entydigt udtrykker enhver vektor v i vektorrummet).

Krav: Basisvektorerne skal være uafhængige og desuden tilhøre det givne vektorrum.

OG SÅ kan man opfatte vektorerne som funktioner, hvilket altså vil sige, at man skal bruge 2 uafhængige løsninger (funktioner) for at danne en linearkombination, der entydigt udtrykker alle løsningerne til en differentialligning af 2. orden.

Jeg har desuden læst lidt på denne hjemmeside: http://www.student.dtu.dk/~qzcmpsr/mat1/Euge4.htm

Vil I være venlige at kigge ovenstående igennem? er stadig ikke 100 % sikker på, at jeg har forstået det rigtigt, men tror da det går fremad...

Du skal nok rykke afsnittet der starter med "OG SÅ" frem forrest. Formuleringsmæssigt er jeg heller ikke sikker på at du skal gå ind på funktioner som vektorer. Det er bestemt ikke forkert men heller ikke vigtig for din opgave, så især hvis du er usikker bør du nok holde dig fra det.

Det er mest fordi, at de definitioner mht. vektorrum og basisvektorer jeg har fundet jo handler om "vektorer". Så ville jeg bare kort skrive,hvordan man kunne sammenligne det med mit tilfælde . Altså nemlig at vektorerne er matematiske elementer, og at de derfor også kan være funktioner/løsninger til en 2. ordens differentialligning. Bare en enkelt sætning eller to :)

Jeg har i opgaven tænkt mig at gennemføre beviset som det står i min lærebog, og så efter beviset skrive 4-5 linjer om hvorfor linearkombinationen er den fuldstændige løsning (for det fremgår nemlig ikke tydeligt af selve beviset).

Er det ikke meget fornuftigt?
 

jo

Glimrende, tak du.