Differentialligninger 4

Undskyld med hva niveau matematik har du??

A-niveau

Du opgave minder meget om den her:

https://www.studieportalen.dk/Forums/Thread.aspx?id=768629

Prøv lige at kigge på den opgave og se om det hjælper til at starte med! :)

Jeg har kigget på den. Så langt Jerslev er nået med at forklare opgaven, så meget har jeg forstået. Men så når jeg har omskrevet min differentialligning på formen y ' =g(x) * y +h (x), indsætter jeg punktet (1,4) ind?
 

y' + f(x)·y = g(x)
(y ' + (1)y) = ( x - 1)
 

integrationsfaktoren er e^∫f(x)dx

som her giver e^∫(1)dx = e^x

(y ' + (1)y) = ( x - 1)                                 der multipliceres med e^x

e^xy' + e^xy = e^x( x - 1)                                venstre side omskrives til

(e^xy)' = e^x(x-1)                                         der integreres med hensyn til x

∫(e^xy)'·dx = ∫e^x(x -1) dx                             hvoraf

   e^xy =  e^x(x-1) - ∫e^x·1dx   

   e^xy = e^x(x-1) - e^x + C

   e^xy = C + e^x(x-2)                                   som divideres med e^x

                y = Ce^-x + x - 2                        gennem (1,4)

                4 = Ce^-1 + 1 - 2
                5 = Ce^-1                                    gang med e

                5e = C
 

                y = 5e^-x+1 + x - 2

Tak Mathon. Har nogle spørgsmål.

1. I min bog står der, at den fuldstændige løsning til differentialligningen y ' + g(x) * y= h(x) er y= e^-G(x) * ∫ e^G(x) * h(x) dx. Men du bruger itegrationsfaktoren e∫f(x)dx. Er det to forskellige formler? Altså skal man ikke bruge y= e^-G(x) * ∫ e^G(x) * h(x) dx? Hvis ikke, så forstår jeg ikke hvorfor du bruger e∫f(x)dx, for det har jeg ikke brugt før.

2. Hvilken regneregel bruger du fra  e^xy' + e^xy til (e^xy)' ?

3. Hvad gør du fra ∫e^x(x -1) dx til e^x(x-1) - ∫e^x·1dx

4. Her e^x(x-1) - ex^xsætter du e^x uden for parentes, men hvorfor står der 2 i parentes. Skal der ikke stå e^x2?

1. det er den samme metode,
    hvor jeg blot har medtaget hvert trin

2. produktreglen fra højre mod venstre

3. delvis integration

4. e^x(x-1) - e^x·1 = e^x(x-1-1) = e^x(x-2)

I 4. hvor du har illustreret e^x(x-1) - e^x·1 = e^x(x-1-1) = e^x(x-2).. Kan du ikke vise det med et andet eksempel? For jeg synes det er svært at se hvorfor e^x(x-1) - e^x·1 bliver e^x(x-1-1)

Tak :)

     a·b - a·c = a·(b-c)

Tak