Mangler radius i cirklen, ud fra 3 punkter!

cirklens ligning er,
(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2

indsæt dine x og y værdier, og du ahr 3 ligninger med 3 ubekendte

hmm...
Så har jeg følgende:

(x+10)^2 + (y-3)^2 = r^2
(x-0)^2 + (y-5)^2 = r^2
(x-10)^2 + (y-3)^2 = r^2

men hvad så ?

#2: Nej, du tager fejl!

(a,b) er koordinatsættet til cirklens CENTRUM, og det punkt ligger IKKE på cirklen.

I stedet ved du, at

(-10-a)^2 + (3-b)^2 = r^2
(0-a)^2 + (5-b)^2 = r^2
(10-a)^2 + (3-b)^2 = r^2

Det er ciklens centrum og radius, r, som er de ubekendte.

//Singularity

Her er en anden måde, som nok er lettere, derved at du slipper for andengradsligninger. Den er i hvert fald mere instruktiv.

Kald de tre punkter

P_i=(x_i,y_i), i=1,2,3.

idet P_2 er punktet "mellem" P_1 og P_3. Betragt liniestykket l gn. P_1 og P_2 og m gn. P_2 og P_3. Hver især har de forskrift på formen

l: y = a_l * (x - x_1) + y_1,

m: y = a_m * (x - x_2) + y_2.

hvor a_l og a_m udregnes ved en velkendt formel. Overbevis dig nu om, at linierne l* og m* vinkelret på l og m og med skæring i disses respektive midtpunkter skærer hinanden i centrum for den cirkel, der fastlægges af de tre punkter (det følger af en velkendt egenskab ved cirkler). Hældningskoefficienten for l* og m* finder du ved at benytte det velkendte resultat, at produktet af hældningskoefficienterne for to linjer, som står vinkelret på hinanden, er -1. Det er nu simpelt at opskrive ligninger for l* og m*. Centrum for cirklen findes som skæringen mellem disse to linier, og radius som afstanden herfra til et vilkårligt af de tre punkter P_1,P_2,P_3.

Som en bonus er det faktisk slet ikke nødvendigt at blande cirkler ind i ovenstående. At de tre punkter faktisk ligger på cirklen med det ovenfor beskrevne centrum og radius er ligetil at indse (tjek afstanden fra hvert punkt til centrum).