Optimering opgave - hjælp

lad kassen have længden l, højden h og bredden d. Da den skal være dobbelt så lang som den er bred, kan længden skrives: l=2*d. Du skal finde kassens overfladeareal som funktion af længden, d. Dette kan gøres ved at opskrive ligningen for kassens rumfang og overfladeareal og substituere så du slipper af med h. Når dette er gjort skulle du ende med en funktion A(d) som kun afhænger af d. Herefter findes A's minimum, ved differentiation. Find så til sidst længden l=2*d og højden udfra din volumenformel.

kan du uddybe lidt mere ?

hvis kassen har bredden d, længden l=2*d og højden h, kan overfladearealet og voluminet findes:

A=2*h*d+2*2d*h+2*d*2d=2d*(3*h+2*d)          (1)

V=2*d^2*h                                                              (2)

h isoleres i (2):

h=V/(2*d^2)

og indsættes i (1):

A(d)=2d*(3*V/(2*d^2)+2*d)=(3*V)/d+4*d^2

Da du kender kassens volumen V fra opgaven, kendes overfladearealet nu som funktion af bredden d. Du skal nu finde A's minimum, dette gøres ved at differentiere A(d) og sætte den lig nul: A'(d)=0. Løs ligningen for d, og find ud af hvilket d der giver det mindste overfladeareal, undersøg også yderpunkterne, dvs d->0 og d->uendelig.

når du har fundet dig optmale d, finder du h fra (2) og l=2*d

Åben kasse, dvs. en kasse uden låg

Bredde=x

Længde=2x

Højde=h

R=h*2x*x

R=h*2x³

144000=h*2x³

Udtryk h ved hjælp af x

144000=h*2x³

h=144000/2x³

h=72000/x²

Overfladearealet af kassen

O=2*(2x*h)+2*(h*x)+(2x*x)

O=2hx+2hx+2hx+2x³

O=6hx+2x³

Vi har to ubekendte h og x og det kan vi ikke lide. Vi udtryk h udtrykt ved x i udtrykket

O=6*72000/x²*x+2x³

O=432000/x+2x³

For at finde minimum, altså hvor x er mindst, skal vi differentiere overfladearealet og sætte det lig med 0

Først omskrives O

O=432000/x^-1+2x³

O'=-1*432000*x^-1-1+3*2*x^3-1

O'=-432000x^-2+6x²=0

Omskrives til

O'=-432000/x²+6x²=0

O'=x²(-432000/x²+6x²)=0

O'=-432000+6x⁴=0

6x⁴=432000

x⁴=432000/6=72000

x=⁴√72000=16,3807

Ved at undersøge monotoniforholdene finder man ud af, at grafen falder og rammer et minimum i x=16,38 og derefter stiger

Når x=16,38 så er overfladearealet mindst mulig