Opgave om Riemann integralet.

Nu er det nogle år siden jeg har haft noget med Riemann integraler at gøre og jeg kan ikke huske definitionen på et uegentlig integral. For a ≤-1 går det i hvert fald galt. Den nedre grænse for integralet eksisterer ikke. For -1<a<0 er funktionen ikke defineret; men den nedre grænseværdi for stamfunktionen er veldefineret så  det er sandsynligvis det der kaldes uegentlig Riemann integral. For a ≥ 0 er der intet problem. Funktionen er kontinuert og så eksisterer integralet for alle definitioner af integration.

Et uegentligt integral er et integral, hvor integranden går mod +-uendelig i et eller flere punkter i integrationsintervallet.

... og hvor integralet har en endelig grænseværdi.

Der er tale om integralet

ikke?

Jeg vil sige, at for a ≥ 0 er det et veldefineret sædvanligt Riemann integrale, thi integranden er kontinuert.

For -1 < a < 0 er det et veldefineret uegentligt Riemann integrale, thi integranden går mod uendelig for x gående mod 0, men integralet konvergerer. Lad os tage f(x) = x^-1/2 som exempel. Vi har

Samme udregning kan gentages for alle a i intervallet ]-1,0[

For a ≤ -1 giver integralet ikke mening; det er divergent, thi stamfunktionen er divergent for x gående mod den nedre grænse fra højre. Lad os tage f(x) = x^-1 som exempel. Vi har

Jo, det er helt rigtigt:)..

Hvad hvis jeg bytter om på grænserne så der står uendeligt for oven og 1 forneden?

Tak for hjælp:)

Anders

I intervallet [1;oo[ er funktionen kontinuert. Kravet er så at stamfunktionen ikke går mod uendelig for x gående mod uendelig. Det gælder for a<-1