Matematik

3 vektore opgaver

08. februar 2005 af Mads123 (Slettet)

Håber I kan hjælpe med disse opgaver. Har arbjedet lidt med dem, men kan ikke finde rundt i det. "-" skal betyde en pil som angiver det er en vektor. "

1. En vektor v- har koordinatsættet (2,-3).
Tegn en firkant ABCD, hvor AB- = v-, BC- = v- + 2v- hat, CD- = -2v- + v- hat.
Bestem sidelængderne i firkanten.
Lad nu v- være en vilkårlig egentlig vektor og firkanten fastlagt på samme måde som før. Bestem sidelængderne udtrykt ved |v-|.

Mine svar: AB- = (2,3) BC- = (8,1), CD-= (-1,8).
Til bestemmelse af sidelængderne har jeg bare brugt |AB-| = sqrt(a1^2 + a2^2) MEN..
Skal man også regne side længden DA så?
og hvordan løser jeg det sidste del af opgaven? forstår den ikke helt.

2. Lad a- og b- være egentlige vektorer.
Angivsammenhængen mellem vinklerne
Hvad kan man sige om cosinus til de to vinkler?
Hvad kan man sige om sinus til de to vinkler?

Mig: Altså jeg kan gætte mig til at det er noget med enhedscirklen. Og jeg ved at koordinaterne i et sådan er (cos,sin).
Kan det være noget med at de forbliver de samme cos(v) = -cos(v).
Ej bare gæt.

Den tredje opgave venter jeg med til jeg har forstået disse.

Svar #1
09. februar 2005 af Mads123 (Slettet)

Er der ikke nogle der kan hjælpe? I skal ikke lave det, men bare sige om det jeg gør er rigtigt. Og så måske også lige forklare det sidste i en af opgaverne.

Brugbart svar (0)

Svar #2
09. februar 2005 af Epsilon (Slettet)

Mads:

1. Hvis du tegner vektorrepræsentanter, vil du opdage, at DA ikke er en side i firkanten. De fire sider er

AB, AC, BD og CD

Koordinatsættene til vektorerne AB og CD er korrekt bestemt. AC og BD kan findes af indskudsreglen for vektorer i planen;

AC = AB + BC
BD = BC + CD

idet du kender AB, BC og CD.

Sidelængderne beregnes analogt med det eksempel, du har angivet; 'Kvadratroden af kvadratsummen af koordinaterne'.

Derefter skal du regne symbolsk. Vi har, at

AB = v
BC = v + 2v(hat)
CD = -2v + v(hat)

Udtryk AC og BD ved v og v(hat), jf. indskudsreglen. Beregn dernæst siderne i firkanten, udtrykt ved |v|.

//Singularity

Svar #3
09. februar 2005 af Mads123 (Slettet)

ahh sorry. Det er fordi jeg normalt laver tegninger af figure til sidst, som bilag. Gik bare udfra at de var siderne. Men ville alligevel ikke vide jeg skulle gøre sådan.

"Derefter skal du regne symbolsk. Vi har, at

AB = v
BC = v + 2v(hat)
CD = -2v + v(hat)

Udtryk AC og BD ved v og v(hat), jf. indskudsreglen. Beregn dernæst siderne i firkanten, udtrykt ved |v|. "
Og sætningen
"udtryk AC og BD ved v og v(hat), jf. indskudsreglen. Beregn dernæst siderne i firkanten, udtrykt ved |v|." forstår jeg ikke. Skal jeg gøre med AC og BD som jeg gør med CD fx? og i den sidste skal jeg bare finde den numeriske værdi/længde for de sider ligesom jeg gjorde før?

Brugbart svar (0)

Svar #4
09. februar 2005 af Epsilon (Slettet)

#3: Med symbolsk menes, at i anden del af opgaven er v jo en vilkårlig egentlig vektor. Du skal bare kopiere fremgangsmåden fra det første spørgsmål;

AB = v,
AC = AB + BC = v + (v + 2v(hat)) = 2v + 2v(hat)
BD = BC + CD = v + 2v(hat) + (-2v + v(hat)) = 3v(hat) - v
CD = -2v + v(hat)

og så beregne længderne af disse vektorer, udtrykt ved |v|, som er længden af v. Husk at længden af en vektor er defineret ud fra vektorens skalarprodukt med sig selv, fx

|AB|^2 = (AB)*(AB) = v*v = |v|^2

hvoraf det følger, at |AB| = |v|

Tilsvarende gøres for de andre vektorer.

//Singularity

Svar #5
09. februar 2005 af Mads123 (Slettet)

Øhmm det giver ikke mening. Er der forskel på længden af en vektor og længden på en side?
og er det så længderne af vektorerne man finder til den med |v|?

Svar #6
09. februar 2005 af Mads123 (Slettet)

Ok, tror jeg kokser lidt rundt i det. Har lige tegnet en figur og kan se at jeg finder længden ved at gøre det jeg gjorde i starten.
Så dit svar må være til det sidste med |v|, som jeg stadig ikke forstår.

Svar #7
09. februar 2005 af Mads123 (Slettet)

og man skal vel også bruge indskudsreglen til at finde siden for AD. Altså først vektoren og så siden :)

Brugbart svar (0)

Svar #8
09. februar 2005 af Epsilon (Slettet)

#7: Følgende vektorer er givet i indlægget for ethvert valg af en egentlig vektor, v;

AB = v
BC = v + 2v(hat)
CD = -2v + v(hat)

Jeg rekapitulerer, hvad jeg fandt frem til i #4, netop ved hjælp af indskudsreglen. Desuden AD;

AC = AB + BC = 2v + 2v(hat)
BD = BC + CD = 3v(hat) - v
CD = -2v + v(hat)
AD = AB + BD = 3v(hat)

Så er det ren udregning af de relevante sider, som udgør firkanten.

Vi bruger, at der gælder

|v| = |v(hat)| (rotation bevarer længde)
v*v(hat) = 0 (vektorerne er ortogonale)

Dermed er

|AB|^2 = v*v = |v|^2
|AC|^2 = [2v + 2v(hat)]*[2v + 2v(hat)] = 4|v|^2 + 4|v(hat)|^2 = 8|v|^2
|BD|^2 = 9|v(hat)|^2 + |v|^2 = 10|v|^2
|CD|^2 = 4|v|^2 + |v(hat)|^2 = 5|v|^2

så

|AB| = |v|
|AC| = |v|*sqrt(8)
|BD| = |v|*sqrt(10)
|CD| = |v|*sqrt(5)

//Singularity

Svar #9
09. februar 2005 af Mads123 (Slettet)

ahh ok, tror jeg er med på det.

Men det der irriterer mig nu, er at jeg må have tegnet den firkant forkert.

Jeg startede med at tegne vektor AB fra origo. Der hvor AB slutter starter jeg BC og på samme måde med CD, og så tegnede jeg en streg fra origo(A) til D eller omvendt.

Men det må åbenbart give den forkerte firkant? :S

Brugbart svar (0)

Svar #10
09. februar 2005 af Epsilon (Slettet)

#9: Hmm...du har åbenbart lavet en fortegnsfejl i allerførste indlæg. Der står, at

v = (2,-3)

men alligevel sætter du

AB = v = (2,3)

De korrekte vektorer er

AB = v = (2,-3)
BC = v + 2v(hat) = (8,1)
CD = -2v + v(hat) = (-1,8)
AD = AB + BD = AB + BC + CD = (2,-3) + (8,1) + (-1,8) = (9,6)

Dermed er de relevante sider i stedet

|AB| = sqrt(2^2 + (-3)^2) = sqrt(13)
|BC| = sqrt(65) = |CD|
|AD| = sqrt(117)

Tilsvarende gennemfører du udregningerne med symboler som anvist i #8, blot ud fra

AB = v
BC = v + 2v(hat)
CD = -2v + v(hat)
AD = 3v(hat)

Så skulle der ikke være mere at komme efter :-)

//Singularity

Svar #11
09. februar 2005 af Mads123 (Slettet)

Sorry med fortegnet. Det var en tastefejl. Men det gode er, at det nu passer med det jeg fik :)

Svar #12
09. februar 2005 af Mads123 (Slettet)

Ved ikke om du er træt af det, men hvornår bruger vi "v*v(hat) = 0 (vektorerne er ortogonale)"?
Ellers er der hvis styr på det :)

Hvis du har tid til den anden opgave må du selvfølgelig også, men har aftalt med en anden at snakke om den imorgen, så måske vi skulle vente med den, til imorgen.

Brugbart svar (0)

Svar #13
10. februar 2005 af Epsilon (Slettet)

#12: To vektorer a og b er indbyrdes ortogonale (vinkelrette), netop hvis det skalare produkt

a*b = 0 (1)

Det er tydeligvis tilfældet med v og dennes tværvektor v(hat), idet tværvektoren per konstruktion er ortogonal på den oprindelige vektor.

Bemærk i øvrigt, at begrebet tværvektor kun har mening i R^2 (i planen) og ikke i R^3 (i rummet). Derimod gælder (1) også for ortogonale vektorer i rummet og i højere dimensioner. Men det er en helt anden snak :-)

Godnat.

//Singularity

Svar #14
10. februar 2005 af Mads123 (Slettet)

øhm Singularity vil du ikke vise hvordan du fik |AD| til 3v(hat)
. Der må være nogle mellem regninger.

Forresten så jeg at nogle andre fra min klasse ud fra istedet sagde længden fx |AB|/|v| = sqrt(13)/sqrt(13) og giver |v|. Virker umiddelbart som en lettere måde, men er sikkert også den samme eller hvad?

211. Bestem skalarproduktet af vektorerne a = (4,3) og b= (0,2).

Bestem koordinatsættene for vektorene a og b i det koordinatsystem der som basisvektorer har e_a = vektor(a)/|vektor(a)| og e_a-hat.

Brugbart svar (0)

Svar #15
10. februar 2005 af Epsilon (Slettet)

#14:

"øhm Singularity vil du ikke vise hvordan du fik |AD| til 3v(hat). Der må være nogle mellem regninger."

Det står egentlig i #10 - du skal blot sætte oplysningerne sammen. Når v er en vilkårlig egentlig vektor, er

AB = v = (2,-3)
BC = v + 2v(hat)
CD = -2v + v(hat)

Så

AD = AB + BC + CD = v + (v + 2v(hat)) + (-2v + v(hat)) = 3v(hat)

"Forresten så jeg at nogle andre fra min klasse ud fra istedet sagde længden fx |AB|/|v| = sqrt(13)/sqrt(13) og giver |v|. Virker umiddelbart som en lettere måde, men er sikkert også den samme eller hvad?"

Det er unødvendig besværligt, thi der står direkte i det første indlæg, at

AB = v

så naturligvis er |AB| = |v|.

"211. Bestem skalarproduktet af vektorerne a = (4,3) og b = (0,2).

Det er korrekt.

Der mangler lidt oplysninger i sidste afsnit i #14. Hvordan finder du, at a = (5,0)? Er e_a den sædvanlige standardbasisvektor (1,0)? Skriv eventuelt opgaveteksten ned. Så er det lettere at vejlede ordentligt.

//Singularity

Svar #16
10. februar 2005 af Mads123 (Slettet)

211. Bestem skalarproduktet af vektorerne a = (4,3) og b= (0,2).
Bestem koordinatsættene for vektorene a og b i det koordinatsystem der som basisvektorer har e_a = vektor(a)/|vektor(a)| og e_a-hat.
Beregn skalar produktet af vektor a og b udfra disse koordinater.

Sådan lyder den.

"Det er unødvendig besværligt, thi der står direkte i det første indlæg, at
AB = v
så naturligvis er |AB| = |v|." Ja, ved det godt, men var bare et eksempel. For BC ville det være sqrt(65)/sqrt(13) = det tal der skal stå foran |v|.

Brugbart svar (0)

Svar #17
10. februar 2005 af Epsilon (Slettet)

#16: Længden af vektor a er

|a| = sqrt(4^2 + 3^2) = 5

og denne længde er bevaret, selvom der skiftes til andre basisvektorer.

Så den nye koordinatbasis er

e_a = a/|a| = (4,3)/5 = (4/5,3/5)

e_a(hat) = (-3/5,4/5)

Tjek eventuelt, at disse er enhedsvektorer. Dernæst skal du skrive a og b som linearkombinationer af de nye basisvektorer;

a = r*e_a + s*e_a(hat)

hvor r,s er skalarer (tal). Tilsvarende for b. Udregn derefter skalarproduktet a*b.

//Singularity

Svar #18
10. februar 2005 af Mads123 (Slettet)

Fuck var ellers sikker på at jeg var inde på noget af det rigtige.

Jeg er med på det første.

Men hvad er r og s. Ja tal, men hvilke? og "a" er det vektor a?

Og hvordan tjekke efter? Mener du at tegne?

Jep jeg er en noob til vektor :)

Svar #19
10. februar 2005 af Mads123 (Slettet)

Skal jeg ikke bruge formlen vB = ((|vB|*cos(V)),(|vB|*sin(V)))

Og så bagefter bruge vA*vB = |vA|*|vB|*cos(V) ???

Brugbart svar (0)

Svar #20
10. februar 2005 af Epsilon (Slettet)

#18: Du skal ikke tegne - du skal regne :-) Og ja, a og b har hele tiden været vektorer.

At e_a og e_a(hat) er enhedsvektorer, ses ved udregningen

|e_a| = sqrt((4/5)^2 + (3/5)^2) = 1

og tilsvarende for e_a(hat).

r og s er reelle tal, som indgår i linearkombinationen;

a = r*e_a + s*e_a(hat) (1)

Skrevet ud i koordinater giver det to ligninger

4 = r(4/5) + s(-3/5)
3 = r(3/5) + s(4/5)

Bestem r og s, så begge ligninger er opfyldt samtidig. Der er kun én mulighed. Indsæt værdierne af r og s i (1), og du har udtrykt a ved basisvektorerne. Tilsvarende gøres for vektoren b.

//Singularity

Forrige 1 2 Næste

Der er 28 svar til dette spørgsmål. Der vises 20 svar per side. Spørgsmålet kan besvares på den sidste side. Klik her for at gå til den sidste side.