Side 2 - 3 vektore opgaver - Matematik

Svar #21
10. februar 2005 af Mads123 (Slettet)

Giver op. Ikke engang isolere kan jeg inde ud af :|

Brugbart svar (0)

Svar #22
10. februar 2005 af Epsilon (Slettet)

#21: To ligninger med to ubekendte. Man isolerer fx r i den ene og indsætter udtrykket i den anden. Det giver for hver af vektorerne a og b;

a: r = 5 og s = 0
b: r = 6/5 og s = 8/5

så udtrykt ved basisvektorerne e_a og e_a(hat) har vi, at

a = 5e_a
b = (6/5)e_a + (8/5)e_a(hat)

Bemærk, at e_a var konstrueret som en enhedsvektor i retningen givet ved a, så hvis vi havde fundet, at a afhang af e_a(hat), havde vi lavet en fejl.

Det skalare produkt af a og b er så

a*b = [5e_a]*[(6/5)e_a + (8/5)e_a(hat)] = 6*|e_a|^2 + 8e_a*e_a(hat) = 6

idet e_a og e_a(hat) er enhedsvektorer og ortogonale (e_a*e_a(hat) = 0). Man siger også, at e_a og e_a(hat) udgør en ortonormalbasis.

Bemærk i øvrigt, at skalarproduktet ikke afhænger af den valgte basis. Med de oprindelige koordinater fik du også

a*b = (4,3)*(0,2) = 4*0 + 3*2 = 6

//Singularity

Svar #23
10. februar 2005 af Mads123 (Slettet)

Det må være forståelsen af e_a der irritere mig. Og så også måden man bruger regneregler for vektorer. Og så også det at jeg har rodet mig ud i for meget, sådan så jeg ikke kan holde overblikket.

Linearkombinationen er vi heller ikke kommet til kan jeg se, så der roder jeg mig vidst for meget ud i noget.

Forresten forstår godt den sidste linie. Det gælder vel om at vise at resultatet bliver det samme selvom man "flytter" koordinatsystemet.

Var selv godt igang til da jeg nåede til a*b = |a|*|b|*cos(v), men da a = (5,0) og b = (0,2) betød det at tælleren blev 0, hvis jeg skulle isolere så jeg kunne få vinklen.

Brugbart svar (0)

Svar #24
10. februar 2005 af Epsilon (Slettet)

#23: Ja, det skyldtes, at du endnu ikke havde udtrykt b = (0,2) ved de nye enhedsvektorer.

Det er klart, at vinklen v mellem a og b heller ikke afhænger af den valgte basis. Som du skriver i #23, har vi relationen

a*b = |a|*|b|*cos(v) (1)

Vi har lige vist, at a*b ikke afhænger af basen, og længderne gør tydeligvis heller ikke;

MED ORTONORMALBASIS e_a, e_a(hat)
|a| = sqrt[(5e_a)^2] = sqrt(25) = 5
|b| = sqrt[((6/5)e_a)^2 + ((8/5)e_a(hat))^2)] = sqrt(36/25 + 64/25] = sqrt(4) = 2

MED ORTHONORMALBASIS (1,0), (0,1)
|a| = sqrt(4^2 + 3^2) = 5
|b| = sqrt(0^2 + 2^2) = 2

Så vinklen v i (1) vil være uafhængig af den valgte basis.

//Singularity

Svar #25
10. februar 2005 af Mads123 (Slettet)

Har lige taget en slapper og startet forfra i tråden. Tror jeg er lidt mere med nu.
Du har fundet e_a og e_a-hat selvom man ikke behøves. Right?

Øhm kan du vise hvordan du isolerede r ellers s ved at sætte det ind?

Brugbart svar (0)

Svar #26
10. februar 2005 af Epsilon (Slettet)

#25: Jo, man behøver skam at kende koordinatsættene til e_a og e_a(hat). De benyttes til at bestemme r og s.

Lad os rekapitulere. Vi opererer med ortonormalbasisvektorerne

e_a = (4/5,3/5)
e_a(hat) = (-3/5,4/5)

Vi betragter vektoren a = (4,3) og skal løse ligningssystemet

4 = r(4/5) + s(-3/5) (1)
3 = r(3/5) + s(4/5) (2)

for at udtrykke a som linearkombination af e_a og e_a(hat).

Ligningerne (1)-(2) multipliceres med 5 (det ændrer ikke løsningsmængden)

20 = 4r - 3s
15 = 3r + 4s

r isoleres i den første;

r = 5 + (3/4)s

og dette indsættes i den anden ligning;

15 = 3(5 + (3/4)s) + 4s = 15 + 9/4s + 4s

hvoraf s = 0, og dermed er

r = 5 + (3/4)*0 = 5

så

a = 5e_a

På helt tilsvarende vis løses ligningssystemet

0 = r(4/5) + s(-3/5)
2 = r(3/5) + s(4/5)

hvilket jeg overlader til dig ;-)

//Singularity

Svar #27
10. februar 2005 af Mads123 (Slettet)

OK er vidst med på beregningerne. Skal der ikke et fortegnsskifte ved et 3-tal i starten? e_a(hat) = (-3/5,4/5) og bagefrter 3 = r(3/5) + s(4/5) (2) ellers bytter du måske de to led af en grund?

Og hvad bliver resultatet så for a? 5e_a eller 5*1 + 0*0 ? eller 5*(4/5) + 0*(-3/5) ???

Begynder endelig at se en mening :)

Brugbart svar (0)

Svar #28
11. februar 2005 af Epsilon (Slettet)

#27: Nej, der skal nu ikke være noget fortegnsskift. x-koordinaten til a er en linearkombination af x-koordinaterne til e_a og e_a(hat)

4 = r*(4/5) + s(-3/5)

Tilsvarende er y-koordinaten en linearkombination af basisvektorernes y-koordinater;

3 = r*(3/5) + s(4/5)

og helt på samme vis for vektoren b. Det er sådan man benytter ortonormalbasisvektorerne til at udtrykke enhver anden vektor i det lineære system.

Resultatet er

a = 5e_a = 5(4/5,3/5) = (4,3)

men der er egentlig ingen grund til at skrive det ud i koordinater, thi det er underforstået, hvad e_a er. Ligeledes foretrækker jeg, at b til sidst anføres på formen

b = (6/5)e_a + (8/5)e_a(hat)

Det ser smukt og lineært ud ;-)

//Singularity

Matematik

Side 2 - 3 vektore opgaver

Skriv et svar til: 3 vektore opgaver