Matematik
funktioner
09. februar 2005 af
rizza (Slettet)
hej alle.
en hjælpende hånd søges til denne opgave :
To funktioner f og g er givet ved
f(x)=e^(2x) og g(x)=e^(x-k)
hvor k er et positivt tal.
For enhver værdi af k afgrænser graferne for f og g sammen med koordinatsystemets andenakse i anden kvadrant en punktmængde, der har et areal. Arealet af denne punktmængde betegnes A(k)
- Bestem A(k)
- Bestem lim(for k gående mod uendelig) af A(k)
en hjælpende hånd søges til denne opgave :
To funktioner f og g er givet ved
f(x)=e^(2x) og g(x)=e^(x-k)
hvor k er et positivt tal.
For enhver værdi af k afgrænser graferne for f og g sammen med koordinatsystemets andenakse i anden kvadrant en punktmængde, der har et areal. Arealet af denne punktmængde betegnes A(k)
- Bestem A(k)
- Bestem lim(for k gående mod uendelig) af A(k)
Svar #1
09. februar 2005 af toohey (Slettet)
Okay, f=e^(2x) > g=e^(x-k), så det samlede areal er arealet af f minus arealet af g, altså
Areal = A(f) - A(g).
A(f)=integrale fra s til 0 af f.
A(g)=integrale fra s til 0 af g.
Tricket er så, at du lige skal finde s, som er skæringen mellem f og g, hvis der er sådan et!
God fornøjelse!
mvh Kenneth
Areal = A(f) - A(g).
A(f)=integrale fra s til 0 af f.
A(g)=integrale fra s til 0 af g.
Tricket er så, at du lige skal finde s, som er skæringen mellem f og g, hvis der er sådan et!
God fornøjelse!
mvh Kenneth
Svar #3
09. februar 2005 af Epsilon (Slettet)
#2: Negative arealer?
#1: Der er et sådant skæringspunkt, thi
f(x) = g(x) <=> 2x = x-k <=> x = -k
og
f(x) > g(x) <=> 2x > x-k <=> x > -k
Graferne skærer hinanden i x=-k. Det relevante integral til beregning af A(k) er dermed
int((f-g)(x))dx = int(e^(2x)-e^(x-k))dx = 1/2*e^(2x) - e^(x-k) + c
hvor c E R er en integrationskonstant. Med nedre grænse -k, øvre grænse 0 (y-aksen), har vi, at
A(k) = [1/2 - e^(-k)] - [1/2*e^(-2k) - e^(-2k)] = 1/2 - e^(-k) + 1/2*e^(-2k)
Dermed er
A_inf = lim{k->inf}(A(k)) = 1/2
idet e^(-k) -> 0 for k -> inf.
//Singularity
#1: Der er et sådant skæringspunkt, thi
f(x) = g(x) <=> 2x = x-k <=> x = -k
og
f(x) > g(x) <=> 2x > x-k <=> x > -k
Graferne skærer hinanden i x=-k. Det relevante integral til beregning af A(k) er dermed
int((f-g)(x))dx = int(e^(2x)-e^(x-k))dx = 1/2*e^(2x) - e^(x-k) + c
hvor c E R er en integrationskonstant. Med nedre grænse -k, øvre grænse 0 (y-aksen), har vi, at
A(k) = [1/2 - e^(-k)] - [1/2*e^(-2k) - e^(-2k)] = 1/2 - e^(-k) + 1/2*e^(-2k)
Dermed er
A_inf = lim{k->inf}(A(k)) = 1/2
idet e^(-k) -> 0 for k -> inf.
//Singularity
Skriv et svar til: funktioner
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.