Matematik
sum?
10. februar 2005 af
Osmann (Slettet)
Hvordan udregner man summen af i*i (i i anden)når der står i=1 under sum-tegnet og n ovenover.
Skal også løse samme problem, bare med i=0 under sum-tegnet og n-1 ovenover?
Håber der er nogen som forstår hvad jeg mener og kan hjælpe!
Mvh. Osmann
Skal også løse samme problem, bare med i=0 under sum-tegnet og n-1 ovenover?
Håber der er nogen som forstår hvad jeg mener og kan hjælpe!
Mvh. Osmann
Svar #1
10. februar 2005 af Duffy
Du skal gøre det vha
"Matematisk induktion" som er en metode til at
bevise en påstand P(n).
Der indgår 2 skridt;
1) bevis P(1), dvs. påstanden for n=1
2) bevis, at for ethvert naturligt tal k vil hypotesen P(k) medføre P(k+1).
Når disse skridt er gennemført, kan vi hævde gyldigheden
af enhver påstand i følgen: P(1),P(2),P(3),...
Retfærdiggørelsen heraf ligger i det såkaldte induktionsaksiom.
En uformel retfærdiggørelse er argumentet,
at siden P(1) gælder, så må pga. 2) P(2) også gælde, og idet P(2) gælder, må P(3) gælde, og så fremdeles...
Jeg påstår at
P(n): sum{i=1,n} i^2 = [n*(n+1)]*[(2n+1)]/6 :(A)
hvor
sum{i=1,n} i^2
betyder at vi summerer udtrykket i^2 over alle naturlige tal i fra 1 til n.
Det er blot en forkortet måde at skrive
1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2
Vi skal nu bevise (A) ved induktion.
P(1): Her indeholder summen kun ét led, nemlig
1^2 = 1 = [1*(1+1)]*[(2*1+1)]/6 = 2*3/6 = 1 ,
så P(1) gælder.
2) Antag nu at P(k) gælder for et eller andet k E N.
Og vi skal så vise, at P(k+1) gælder.
P(k): Summen indeholder k led, og
sum{i=1,k} i^2 = [k*(k+1)]*[(2k+1)]/6 :(B)
P(k+1): Summen indeholder k+1 led, og fremkommer af summen (B)
ved at tilføje det (k+1)'te led:
sum{i=1,k+1} i^2 = sum{i=1,k} i^2 + (k+1)^2
Den k-ledede sum på højre side er [k*(k+1)]*[(2k+1)]/6 ifølge induktionsantagelsen (B),
så
sum{i=1,k+1} i^2 = [k*(k+1)]*[(2k+1)]/6 + (k+1)^2 = [k*(k+1)]*[(2k+1)]/6 + (k+1)^2/6 =
[[k*(k+1)]*[(2k+1)] + (k+1)^2]/6 = [(k+1)*((k+1)+1)]*[(2(k+1)+1)]/6
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Altså gælder:
P(n): sum{i=1,n} i^2 = [n*(n+1)]*[(2n+1)]/6
Duffy
"Matematisk induktion" som er en metode til at
bevise en påstand P(n).
Der indgår 2 skridt;
1) bevis P(1), dvs. påstanden for n=1
2) bevis, at for ethvert naturligt tal k vil hypotesen P(k) medføre P(k+1).
Når disse skridt er gennemført, kan vi hævde gyldigheden
af enhver påstand i følgen: P(1),P(2),P(3),...
Retfærdiggørelsen heraf ligger i det såkaldte induktionsaksiom.
En uformel retfærdiggørelse er argumentet,
at siden P(1) gælder, så må pga. 2) P(2) også gælde, og idet P(2) gælder, må P(3) gælde, og så fremdeles...
Jeg påstår at
P(n): sum{i=1,n} i^2 = [n*(n+1)]*[(2n+1)]/6 :(A)
hvor
sum{i=1,n} i^2
betyder at vi summerer udtrykket i^2 over alle naturlige tal i fra 1 til n.
Det er blot en forkortet måde at skrive
1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2
Vi skal nu bevise (A) ved induktion.
P(1): Her indeholder summen kun ét led, nemlig
1^2 = 1 = [1*(1+1)]*[(2*1+1)]/6 = 2*3/6 = 1 ,
så P(1) gælder.
2) Antag nu at P(k) gælder for et eller andet k E N.
Og vi skal så vise, at P(k+1) gælder.
P(k): Summen indeholder k led, og
sum{i=1,k} i^2 = [k*(k+1)]*[(2k+1)]/6 :(B)
P(k+1): Summen indeholder k+1 led, og fremkommer af summen (B)
ved at tilføje det (k+1)'te led:
sum{i=1,k+1} i^2 = sum{i=1,k} i^2 + (k+1)^2
Den k-ledede sum på højre side er [k*(k+1)]*[(2k+1)]/6 ifølge induktionsantagelsen (B),
så
sum{i=1,k+1} i^2 = [k*(k+1)]*[(2k+1)]/6 + (k+1)^2 = [k*(k+1)]*[(2k+1)]/6 + (k+1)^2/6 =
[[k*(k+1)]*[(2k+1)] + (k+1)^2]/6 = [(k+1)*((k+1)+1)]*[(2(k+1)+1)]/6
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Altså gælder:
P(n): sum{i=1,n} i^2 = [n*(n+1)]*[(2n+1)]/6
Duffy
Svar #2
10. februar 2005 af Epsilon (Slettet)
Der er tale om to endelige rækker;
sum{i=1,n}[i^2] = 1^2 + 2^2 + ... + n^2
sum{i=1,n-1}[i^2] = 1^2 + 2^2 + ... + (n-1)^2
Bemærk, at det er nok at se på den første række, idet den anden række blot er første række fratrukket det n'te led, dvs.
sum{i=1,n-1}[i^2] = sum{i=1,n}[i^2] - n^2
Man kan ved matematisk induktion vise påstanden
P(n): sum{i=1,n}[i^2] = n*(n + 1/2)*(n+1)/3
og det vil jeg opfordre dig til at gøre.
INDUKTIONSSTART
Bevis først, at P(1) gælder, dvs. at
sum{i=1,1}[i^2] = 1*(1 + 1/2)*(1+1)/3
Her indeholder 'summen' kun ét led.
INDUKTIONSANTAGELSE og INDUKTIONSSKRIDT
Antag dernæst, at P(k) gælder, for et eller andet k E N, dvs. at
sum{i=1,k}[i^2] = k*(k + 1/2)*(k+1)/3
og bevis, at denne induktionsantagelse medfører, at P(k+1) gælder, dvs. at
sum{i=1,k+1}[i^2] =(k+1)*((k+1)+1/2)*((k+1)+1)/3
Vink: det vil være oplagt at bruge, at
sum{i=1,k+1}[i^2] = sum{i=1,k}[i^2] + (k+1)^2
idet de to summer kun adskiller sig ved det (k+1)'te led. Når disse to skridt er bevist, kan du hævde gyldigheden af P(n) for alle n E N, og opgaven er besvaret.
//Singularity
sum{i=1,n}[i^2] = 1^2 + 2^2 + ... + n^2
sum{i=1,n-1}[i^2] = 1^2 + 2^2 + ... + (n-1)^2
Bemærk, at det er nok at se på den første række, idet den anden række blot er første række fratrukket det n'te led, dvs.
sum{i=1,n-1}[i^2] = sum{i=1,n}[i^2] - n^2
Man kan ved matematisk induktion vise påstanden
P(n): sum{i=1,n}[i^2] = n*(n + 1/2)*(n+1)/3
og det vil jeg opfordre dig til at gøre.
INDUKTIONSSTART
Bevis først, at P(1) gælder, dvs. at
sum{i=1,1}[i^2] = 1*(1 + 1/2)*(1+1)/3
Her indeholder 'summen' kun ét led.
INDUKTIONSANTAGELSE og INDUKTIONSSKRIDT
Antag dernæst, at P(k) gælder, for et eller andet k E N, dvs. at
sum{i=1,k}[i^2] = k*(k + 1/2)*(k+1)/3
og bevis, at denne induktionsantagelse medfører, at P(k+1) gælder, dvs. at
sum{i=1,k+1}[i^2] =(k+1)*((k+1)+1/2)*((k+1)+1)/3
Vink: det vil være oplagt at bruge, at
sum{i=1,k+1}[i^2] = sum{i=1,k}[i^2] + (k+1)^2
idet de to summer kun adskiller sig ved det (k+1)'te led. Når disse to skridt er bevist, kan du hævde gyldigheden af P(n) for alle n E N, og opgaven er besvaret.
//Singularity
Skriv et svar til: sum?
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.