bevis naturlig eksponentialfunktion

Jeg skal lave et oplæg om et bevis for den naturlige eksponentialfunktion. Jeg forstår dog overhovedet ikke beviset,

jeg håber der er nogen der muligvis kan hjælpe mig:

Funktionen exp er differentiabel, med exp'(x) = exp(x)

bevis:

da ln(x) er differentiabel med differentialkvotienten 1/x, ved vi at:

(ln(y) - ln(y0)) / y - y0  ---->  1 / y0  for y ---> y0

I det følgende vil vi bruge betegnelserne y = exp(x) og y0 = exp(x0)

da exp er kontinuert ved vi at exp(x)  ---> exp(x0) for x ---> x0 altså med de indførte betegnelser:

y ---> y0 for x ---> x0

Vi får derfor:(

(exp(x) - exp(x0)) / x - x0 = (y - y0) / (ln(y) - ln(y0)) = 1 / ((ln(y) - ln(y0)) / (y - y0)) ---> (1 / 1) / y0 for x ---> x0

Da den sidste brøk er lig med y0, har vi hermed bevist at exp er differentiabel med differentialkvotient exp'(x0) = exp(x0).

Hermed er beviset slut.

Hvordan forklarer jeg mellemregninger etc. for beviset? jeg forstår ikke rigtig beviset, og hvordan jeg skal forklare det. Jeg håber der er en der kan forklare mig det på en pædagogisk måde :)