summen af en sekvens

Tja, ifølge de Moivres formel, så har du cis(nθ) = [cis(θ)]ⁿ. I følgende vil jeg dog skrive cis(θ) som cos(θ) + i*sin(θ).

Rækken er

Dette er en potensrække med a = 1 og . Den har summen

hvor det sidste lighedstegn følger af de Moivres formel.

Jeg formoder, at du med cisθ mener

cisθ = cosθ + i sinθ = e^iθ

Da har du

1 + cisθ + cis2θ + ... + cis(nθ) = 1 + e^iθ + e^i2θ + ... + e^inθ

   = 1 + e^iθ + (e^iθ)² + ... + (e^iθ)ⁿ = ((e^iθ)ⁿ⁺¹ - 1) / (e^iθ - 1) = (cis((n+1)θ) - 1) / (cisθ - 1) .

Pånær n+1 i stedet for n er det dit udtryk.

okay, hvor kommer n+1 fra?

Og duer min metode?

n+1 kommer af at summere op til n. I det væsentlige:

(1 + x + x² + ... + xⁿ) (x - 1) = xⁿ⁺¹ - 1 .

Som jeg skrev, så skal du have et n+1 i dit sidste udtryk i stedet for n.

Jeg kan se, at der er trykfejl i den sidste linje i #1. Det korrekte er

der omskrives til

På kort form:

#5

Ja, det er korrekt, og så vidt jeg kan se også konsistent med udregningerne i #2 .

Yes. Så håber jeg den oprindelige spørger stadig er med.

Mht. summen af rækken, så kan den udledes om følger.

Vi har

s = 1 + z + z² + ... + zⁿ. [*]

Der ganges med z på begge sider:

s*z = z + z² + z³ + ... + zⁿ + zⁿ⁺¹. [**]

Ligningerne [*] og [**] trækkes fra hinanden, og vi får

s*(1-z) =  1- zⁿ⁺¹ <=>

s = (1-zⁿ⁺¹)/(1-z) = (zⁿ⁺¹-1)/(z-1),

hvor z er et komplext tal forskelligt fra 1.

Okay mange tak :)