Matematik
Math. opgave.!
Vektor OPt = (x,y) = (3,1) + t(2,1) hvor t er alle reale tal.
Og et punkt Q har koordinatsæt (3,9)
a)Bestem koordinatsættet for vektoren QPt
b)Bestem mindsteværdien m af funktionen f(t) = l vektor QPt l ^2
c)Hvilken geometrisk betydning har tallet kvadratrod af m
a)
OPt = OQ + QPt <=> QPt = OPt + (-OQ) = OPt - OQ
Idet
OPt = (3,1) + t(2,1)
OQ = (3,9)
finder vi, at
QPt = (3,1) + t(2,1) - (3,9) = (0,-8) + t(2,1) = (2t,t-8)
Dvs. at koordinatsættet for vektoren QPt er (2t,t-8)
b)
f(t)=|QPt|^2 = (2t)^2 + (t-8)^2 <=>
f(t)=(2t)*(2t)+(t-8)*(t-8) <=>
f(t)=4t^2 + t^2 -8t -8t + 64 <=>
f(t)=5t^2 – 16t + 64
ved at differentiere f(t) og finde nulpunktet for f `(t) kan vi dermed finde mindsteværdien for f(t)
f(t)=5t^2 – 16t + 64
f `(t) = f`(t) = 10t – 16
f `(t) = 10t – 16 = 0 <=>
10t=16 <=>
t= 16 / 10
har bare valgt to vilkårlige punkter:
f(0)=6
f(3)=61
dvs. at mindste værdi for f(t) er 16/10
og så har jeg tegnet grafen + tegnet fortegnsvariationen.
c)
kvadratrud af (16/10) hvilken geometrisk betydning har tallet ?
Svar #1
20. februar 2005 af Epsilon (Slettet)
b) Nulpunktet for f' er korrekt udregnet, men det er ikke tilstrækkeligt at vælge to vilkårlige punkter, som du gør.
Du ved, at
f'(t) = 10t - 16
og eftersom
f'(t) < 0 <=> 10t < 16 <=> t
f'(t) > 0 <=> 10t > 16 <=> t > 8/5
slutter vi, at f er aftagende for t < 8/5 og voksende for t > 8/5, ergo er t=8/5 et globalt minimumssted.
Mindsteværdien af f er ikke 8/5. Du skal indsætte t=8/5 i den oprindelige funktion
f(t) = 5t^2 – 16t + 64
hvilket giver
m = f(8/5) = 256/5 = 51.2
Dette er mindsteværdien af f.
c) Vink: ifølge b) er
f(t) = |QPt|^2
og m angiver mindsteværdien af denne funktion. Hvad må tallet sqrt(m) så angive, og hvilken geometrisk betydning har dette tal?
//Singularity
Svar #2
21. februar 2005 af Liv2004 (Slettet)
Tallet m angiver toppunktet for funktionen og mindsteværdien det ved jeg godt. Ved at tage kvadratrod af (51,2) for jeg et tal der gange med sig selv giver mindsteværdien. Jeg troede at hvis jeg indsætte 7,16 ind i f ` (t) at jeg ville få 51,2 men fik 55,6 så det gik ikke. Så jeg må indrømme at jeg er blank.
Svar #3
21. februar 2005 af Epsilon (Slettet)
c) Tallet m er minimum for funktionen
f(t) = |QPt|^2
som jo angiver kvadratafstanden fra det faste punkt Q(3,9) til punktet Pt på linien med parameterfremstilling
OPt = (x,y) = (3,1) + t(2,1)
Så m = 256/5 er den mindste kvadratafstand, så
sqrt(m) = 16/sqrt(5)
må være mindsteværdien af |QPt|, hvilket geometrisk set er afstanden fra Q og vinkelret ind på linien.
Vi er så heldige, at vi faktisk kan kontrollere dette vha. en velkendt punkt-linie-afstandsformel. Som en normalvektor n for linien l kan vi bruge tværvektoren til (2,1), ergo
n = (-1,2)
og et punkt på linien er (3,1), jf. parameterfremstillingen. Så en ligning for l - på normalform - er
(-1)(x-3) + 2(y-1) = 2y - x + 1 = 0
Dette giver afstanden
dist(Q,l) = |2*9 - 3 + 1|/sqrt((-1)^2 + 2^2) = 16/sqrt(5)
som netop er m.
"Solidum petit in profundis"
//Singularity
Svar #4
21. februar 2005 af Epsilon (Slettet)
som netop er m -> som netop er sqrt(m).
//Singularity
Skriv et svar til: Math. opgave.!
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.