math opgave!!

I planen er givet et koordinatsystem med begyndelsespunkt O. for ethvert tal t er to punkter P og Q bestemt ved:

P(1+t , t) og Q(2-3t, 4-t)

For t=1 udspænder vektorerne OP og OQ et parallelogram.
Bestem arealet af dette parallelogram.
Bestem det tal t for hvilket OP og OQ er ortogonale.
Vis at OP og OQ ikke er parallelle for nogen værdi af tallet t.
En vektor v har kordinatsættet (1, 2)
Bestem tallet t således at projektionen af OP på v er 2v.

Løsning.
Hvis t=1:

P(2,1) og P(-1,3)

Arealet A af det parallelogram der udspændes af vektoren P og Q er:

A = l det (P , Q )l
A= ll 2, -1 ; 1 , 3 ll
A=(2*3)-(-1*1)
A=6+1
A=7

Hvis de er ortogonale.

P = (1+t , t)
Q = (2-3t , 4-t)

P*q = p1*q1+p2*q2
=(1+t)*(2-3t) + t* (4-t)
=2-3t+2t-3t^2+4t-t^2
=-4t^2+3t+2

d=b^2-4ac=3^2-4*(-4)*2=41

t = (-b+-sqr.(d)) / (2a)

Og hvis man indsætter tallene ovenover i formlen for man at.
t=-0,4254 og t=1,1754

dvs. at OP og OQ er ortogonale hvis t=-0,4254 og t=1,1754


Hvis de er parallele.
P = (1+t , t) Vektor p hat =( -t . 1+t)
Q = (2-3t , 4-t)


Vektor p hat * vektor q =0

Det(p , q) =0

Det l l -t , 1+t 2-3t, 4-tll

-t*(4-t)-(1+t)(2-3t)=0
-4t+t^2-(2-3t+2t-3t^2)=0
-4t+t^2-2+3t-2t+3t^2=0
4t^2-3t-2 =0

d=b^2-4ac=3^2-4*4*-2=41

t = (-b+-sqr.(d)) / (2a)

Og hvis man indsætter tallene ovenover i formlen for man at.
t=-0,4254 og t=1,1754

Da værdierne er det samme uanset om de er parallelle eller ortogonale kan vi konstatere at vektorerne ikke er parallelle for nogen t værdi.


Bestem tallet t således at projektionen af OP på v er 2v? Så ved jeg ikke helt hvordan jeg skal løse denne her del af opgaven.
Er der nogen som kan hjælpe mig med det?

Med venlig hilsen

Christina Nilsen