Side 2 - Igen vektor regning - Matematik

Svar #21
08. marts 2005 af Mads123 (Slettet)

Hvordan vil den fx se ud for vinklen mellem a og a-b?

I en orienteret plan er givet en vektor a med længde 3. En vektor b er bestemt ved b=3/2a+â

_Hvis_ jeg skulle bestemme diagonalerne i opgaven, skulle jeg så ikke bare sige (a+b)+(a-b)?

Brugbart svar (0)

Svar #22
08. marts 2005 af Epsilon (Slettet)

#20: Formlen

cos(a+b,a-b) = (|a|^2+|b|^2)/(|a-b|*|a+b|)

er forkert. Man begår matematisk kriminalitet ved at bruge notationen cos(a+b,a-b). Man kan da ikke tage cosinus til et par vektorer :-)

Vi har derimod, at

cos(w) = [(a+b)*(a-b)]/[|a+b|*|a-b|]

og eftersom

(a+b)*(a-b) = |a|^2 - |b|^2

har vi

cos(w) = [|a|^2 - |b|^2]/[|a+b|*|a-b|]

#21: Grundformlen, så at sige, for vinklen v mellem to vektorer, a og b, er

a*b = |a|*|b|*cos(v)

Vinklen u mellem a og a-b er så fastlagt ved

a*(a-b) = |a|*|a-b|*cos(u)

Hvad skal du mere præcist med vektoren a, |a| 3, og b = (3/2)a + â ?

//Singularity

Svar #23
08. marts 2005 af Mads123 (Slettet)

a*(a-b) = |a|*|a-b|*cos(u) ahh selvfølgelig. Så bare isolere bagefter. Så forstår jeg hvorfor der er alle disse varianter. =)

Beregne arealet a parrallelogram, der udspændes af vektorene a og b.
Beregne vinkel mellem vektorerne a og a-b. Beregne længden af projektionen af a og b.

Svar #24
08. marts 2005 af Mads123 (Slettet)

Hov det sidste var til den anden opgave. Skal jeg ikke have nogle koordinater for a og b til at bestemme arealet af parrallelogramet med formlen A = |det(a,b)| = |a|*|b|*sin(v)

Brugbart svar (0)

Svar #25
08. marts 2005 af Epsilon (Slettet)

#22: Jamen dog - det går simpelthen fortrinligt i dag :P Der skal selvfølgelig stå

|a| = 3

i linie 3 fra neden.

#24: Nej, vi fortsætter ufortrødent uden koordinater, eftersom det virker fortrinligt :) I øvrigt trænes man derved i at bruge nogle af egenskaberne ved skalarproduktet.

Du kan benytte, at

det(a,b) = â*b

thi i koordinater (a1,a2) og (b1,b2) har vi

det(a,b) = a1*b2 - a2*b1 = (-a2)*b1 + a1*b2 = (-a2,a1)*(b1,b2) = â*b

Dermed er

det(a,b) = â*b = â*(3/2a + â) = 3/2a*â + |â|^2

Fortsæt herfra.

//Singularity

Svar #26
09. marts 2005 af Mads123 (Slettet)

Jamen jeg går vel så udfra jeg skal sætte a=(|a|,0). I din udledning kommer du frem til 3/2a*â + |â|^2, så skal man da vide a. Right?

Brugbart svar (0)

Svar #27
09. marts 2005 af Epsilon (Slettet)

#26: Nej, husk nu hvad der gælder om skalarproduktet

a*â

og længden |â| af tværvektoren til a. Andet behøver du ikke at vide for at besvare spørgsmålet.

//Singularity

Svar #28
09. marts 2005 af Mads123 (Slettet)

|a|=sqrt(a*a)

|a|=sqrt(a*â)=|â|

Ved ikke lige om det er helt rigtigt eller det er noget andet du fisker efter.

Eller det er måske 3/2(a*â) + |â|^2 sådan her du tænker. SÅdan så jeg bare skal sige 3/2*|a|^2 + |â|^2?

Brugbart svar (0)

Svar #29
09. marts 2005 af Epsilon (Slettet)

#28: Nej, du roder tingene sammen. Eftersom â er tværvektoren til a, har vi

â*a = 0

thi de er jo ortogonale. Bemærk også, at tværvektoren blot fremkommer ved at skifte fortegn på andenkoordinaten a2 til a og ombytte a1 og a2. Disse operationer ændrer tydeligvis ikke på længden, bestemt ved;

|â|^2 = (-a2)^2 + (a1)^2 = (a1)^2 + (a2)^2 = |a|^2

hvoraf |â| = |a| = 3. Dermed er

A = |det(a,b)| = |(3/2)a*â + |â|^2| = |a|^2 = 9

Kan du se det?

//Singularity

Svar #30
09. marts 2005 af Mads123 (Slettet)

ah ja, på den måde :)

Tak!

Svar #31
09. marts 2005 af Mads123 (Slettet)

Hvis du keder dig har jeg lige en lille anden opgave =) Jeg har vektorerne a=(2,-5) b=(-6,4) og c=(11,0)

Jeg skal bestemme tallene s og t såldes at c=s*a+t*b. Så siger jeg vel bare c1=s*a1+t*b1 og isolerer s eller t og sætter det ind c2=s*a2+t*b2.
Det MÅ være rigtigt, ik? :)

Forresten den med parrallelogramet, er det så ikke rigtigt at diagonalerne er a+b hvis netop parrallelogramet er udspændt af a og b?

Brugbart svar (0)

Svar #32
09. marts 2005 af Epsilon (Slettet)

#31: Jeg tør godt sige, at jeg næsten aldrig keder mig (hvis det ikke lige var for den elendige statistikbog, vi partout skal bruge) :-)

Du er inde på det helt rigtige. Vi skal udtrykke vektor c=(11,0) som en linearkombination af vektorerne a=(2,-5) og b=(-6,4). Det giver ligningssystemet;

11 = 2s - 6t (1)
0 = -5s + 4t (2)

Bestem s og t, som opfylder (1) og (2), og opgaven er løst.

Hvad parallelogrammet angår, så henviser jeg i øvrigt til bemærkning 1) i #10. Indtegn eventuelt vektorerne a+b og a-b i parallelogrammet udspændt af a og b, på de figurer, som du linkede til i #14. Det er ret illustrativt.

//Singularity

Svar #33
09. marts 2005 af Mads123 (Slettet)

Jep, tænker også illustrativt. I den opgave ville diagonalernes længde være |(a+b)+(a-b)|, ikke?

Brugbart svar (0)

Svar #34
09. marts 2005 af Epsilon (Slettet)

#33: Diagonalernes samlede længde er

|a+b|+|a-b|

men hvad du skal bruge den oplysning til, kan jeg ikke umiddelbart se.

//Singularity

Svar #35
09. marts 2005 af Mads123 (Slettet)

Den er en del af den sidste opgave jeg skrev. Har bare ikke skrevet alle delspørgsmålene. Men jeg kan se vi er enige.

Jeg takker for det hele. Har fået lidt mere forståelse for det. Regner det imorgen, så der kan eventuelt dukke mere op. Godnat! :)

Svar #36
09. marts 2005 af Mads123 (Slettet)

Ved godt det nok er gennemgået mere end nok her, men har igen problemer med det, med vinklen.

|a|=3 b=3/2a+â

Beregne vinkel mellem vektorerne a og a-b.

Jeg skal vel komme frem til formlen cos(v)=((|a|^2-|a|*|b|)/(|a|*|a-b|)) Er det rigtigt? Hvis det er, hvordan finder jeg så |a-b|?
Jeg har sqrt(|a|^2+|b|^2-2a*b)=|a-b| Men jeg har netop ikke a og b her.

Brugbart svar (0)

Svar #37
09. marts 2005 af Epsilon (Slettet)

#36: Nej, det er ikke helt korrekt. Vinklen u mellem a og a-b er fastlagt ved

a*(a-b) = |a|*|a-b|*cos(u) (1)

hvor

a*(a-b) =
|a|^2 - a*b =
|a|^2 - a*((3/2)a + â) =
|a|^2 - (3/2)|a|^2 =
(-1/2)|a|^2

idet a*â = 0 per ortogonalitet af a og â. Så a*(a-b) er let beregnet. Nu ser vi på |a-b|.

Eftersom

a-b =
a-((3/2)a + â) =
(-1/2)a - â

har vi

|a-b|^2 =
(a-b)*(a-b) =
((-1/2)a - â)*((-1/2)a - â) =
(1/4)|a|^2 + |â|^2 + a*â =
(5/4)|a|^2

idet a*â = 0 og |â| = |a|. Dermed er

|a-b| = sqrt[(5/4)|a|^2] = |a|*sqrt(5)/2

som også let kan beregnes. Kombinér nu det hele i (1) og bestem u.

//Singularity

Svar #38
09. marts 2005 af Mads123 (Slettet)

Smart! Men er der en systematisk måde du gør? Altså hvad er vigtigt at holde øje med?
Hver gang der er en oplysning jeg ikke har, går jeg kold.

Fx skal jeg nu bestemme længden af projektionen af a på b.
a_b=((a*b)/(|b|^2))*b

a*b = (3/2)|a|^2 set i dit indlæg #37.
Synes det er svært med b og |b|^2. De er "en del af a" men kan ikke lige finde ud af det.

Og af den projektions formel skal man få en vektor, men af hvad jeg kan se får man et tal :/

Brugbart svar (0)

Svar #39
09. marts 2005 af Epsilon (Slettet)

#38: Man kan som regel komme et stykke vej i den slags opgaver ved at huske, at

a*a = |a|^2
a*â = 0
det(a,b) = â*b
a*b = |a|*|b|*cos(v)

og ved undervejs at udnytte nogle grundlæggende egenskaber ved skalarproduktet;

(1) a*b = b*a
(2) a*(b + c) = a*b + a*c
(3) r*(a*b) = (ra)*b = a*(rb)
(4) a*a >= 0 og a*a = 0 hviss a = 0

hvor a,b,c er vektorer og r er en skalar (et reelt tal).

'hviss' betyder 'hvis og kun hvis'.

(1)-(4) kaldes undertiden for den kommutative lov (1), den distributive lov (2), homogenitet (3) og positivitet (4), for skalarproduktet. Disse 4 egenskaber gælder tillige for vektorer i rummet (R^3), ja sågar i R^n ("den n-dimensionale udgave af R").

Projektionen af a på b;

proj_b(a) = ((a*b)/(|b|^2))*b

er en vektor, som er parallel med b, idet (a*b)/|b|^2 blot er et reelt tal.

For at det ikke skal være løgn, kan man også i dette tilfælde glemme alt om koordinater. Vi har

a*b = (3/2)|a|^2

og - ja prøv selv nu, idet du bruger, at

|b|^2 = b*b

hvor b = (3/2)a + â

Du skal ende med, at

proj_b(a) = (6/13)b

//Singularity

Svar #40
09. marts 2005 af Mads123 (Slettet)

Det ender jeg også med, men må man gerne angive resultatet sådan? Eller skal det ganges ud med b, så man får det i koordinater?

Opgaven i #0 skal jeg bestemme arealet af det parrallelogram a+b og a-b udspænder. Men i den opgave har jeg kun |a-b| og |a+b|. Hvordan gør jeg så jeg får dem til a-b og a+b?

Håber seriøst snart det feser ind hos mig.