Kort spørgsmål vedr. fejl i bogen

Grænsen kan fint være en variabel og ikke en konstant, men....
Alt andet lige, bør grænsen ikke have samme navn som den uafhængige variabel i funktionen, så jo, det er at betegne en skrivesmutter i 2) _a∫^x f(t)dt = ... havde været mere hensigtsmæssig.

Du har delvis ret. x er ikke en konstant men en variabel; men det er rigtigt at man bruger t som variabel i intergrationen for at adskille den fra den øvre grænse.

Du har ret i at det er mere korrekt at bruge en anden integrationsvariabel en den øvre grænse. Det er jo almindeligt at skrive ∫f(x)dx uden grænser og der er næppe nogen, der vil misforstå det, så jeg synes det hører hjemme i småtingsafdelingen.

Et lille forbehold. jeg kender ikke sammenhængen udtrykkene indgår i.

Du har helt ret i, at det er ikke korrekt notation at have x både i integranden og i en af grænserne for integralet.

Du har ret. Bogen må være forkert. Men x behøver ikke være konstant.

For hver værdi af x har integralet en værdi, Derfor er integralet en funktion af x. Du kan kalde den F(x), for det er en stamfunktion til f(x). Den giver arealet under grafen for f(x) fra a til x (hvis f er positiv).

t kaldes integrationsvariablen. Den "slipper ikke ud" af integralet, fordi man integrerer over den.

Man kan skrive F(x) = _a∫^x f(x)dx .

Som du måske ved, er der flere stamfunktioner til den samme funktion f(x), nemlig en for hver værdi af a.

Vel, nu modsiger i hinanden lidt.
Jeg skriver lige hele samemnhængen så det er bedre til at forstå:

Sætning om integral og stamfunktion 2:

Hvis f er integrabel i intervallet [a ; b], og F er en stamfunktion til f, så er

           _a∫^b f(x)dx = F(b) - F(a)

Bevis: Fra forrige sætning ved vi, at stamfunktionen _a∫^xf(t)dt er en stamfunktion til f.

Når F er en stamfunktion til f, må der derfor gælde:

           _a∫^x f(t)dt = F(x) + c

Konstanten c findes ved at indsætte x = a i udtrykket:

           _a∫^a f(x)dx = F(a) + c  ⇔  0 = F(a) + c  ⇔  c = -F(a)  , nu er a variablen(konstant her, da "a" repræsenterer et tal?) og derfor forstår jeg at man kan skrive f(x)dx

Altså er

           _a∫^x f(x)dx = F(x) - F(a)                , men nu bruger han igen f(x)dx, selvom x er variabel.

Indsættes heri x = b fås det ønskede:

           _a∫^b f(x)dx = F(b) - F(a)

Som peter lind siger, så er dette måske et luksus problem, men det irriterer mig dog grænseløst (no pun intended).

#5

Det tenderer efter min mening til misbrug af notation. Det er mere korrekt og mere klart at skrive det

 _a∫^x f(t)dt = F(x) - F(a)