formålet med ligning til tangenten ?

tangenten siger noget om hvordan ét punkt på grafen opfører sig (voksende, aftagende eller konstant)

tangentligningen beskriver så mere detaljeret og helt præcist hvordan denne tangent ser ud, og altså præcis  hvordan grafen ser ud i det ene punkt hvor tangenten er.

tangentligningen siger altså noget om væksten, hvordan det målte udvikler sig.

jo men f'(x) fortæller mig jo også hvordan  funktionen vokser/falder i punktet

kan satdig ikke se jeg behøver ligningen til det

Nogengange anvender man det som en approksimation til den egentlige funktion. Hvis nu man f.eks. har et fysisk fænomen og man her har et mere eller mindre kompliceret funktionsudtryk. Lad os f.eks. sige at kraften på en partikel F er givet ved F(x) = -sin(x). Det ville være svært at løse denne ligning (det er en ikke særlig let differentialligning idet man ser vha Newtons 2. lov at x''(t)=-1/m*sin(x). Det man så f.eks. kan bruge tangenten til er hvis vi siger vi kun vil kigge på små udsving af partiklen, så approksimerer vi -sin(x) ved tangenten, så vi indsætter tangenten istedet som her er -x så får man nemlig differentialligningen x''(t)=-1/m*x som er let at løse - herved kan vi altså løse et problem som er ret kompliceret ved at lave en approksimation og holde os til området hvor approksimationen holder.

man kan kalde det to sider af samme sag ;-) tak for det

En knaldhamrende god tanke, du fik. Du har ganske ret i, at du kun behøver f '(xo) til at beskrive væksthastigheden i et bestemt punkt og f '(x) til at bestemme monotoniforhold.

Hvorfor så?
Tæt på x0, er f(x) næsten det samme som tangenten, så i lillebitte interval om x0, kan f(x) betragtes som lineær - og så er det rart at vide hvilken lineær funktion, den næsten er.
Alt andet lige er det lettere at regne med lineære funktioner end med komplicerede funktionsudtryk.
f(x) ~ f '(x0)·(x-x0) + f(x0) kaldes en 1. ordens approximation, og den er OK, når x ligger tæt på x0. Denne approximation bruges i mange sammenhænge.

En anden ting: Forestil dig, at grafen er udtryk for en bevægelse af et punkt (en partikel) til et tidspunkt t, og der er nogle kræfter, der holder partiklen i den pågældende bane. Hvis alle kræfter, der påvirker partiklen, ophører, vil partiklen fortsætte i tangentens bane.