Afstand fra trekants hjørner til omskrevne cirkels centrum

Diameter i omskreven cirkel = a/sin(A)=b/sin(B)=c/sin(C)

Idet a, b, c er trekantens tre sider, og T er trekantens areal, kan radius R i den omskrevne cirkel findes som

R = abc/(4T) .

Trekanten er ligebenet, og lad os kalde den korteste side for c = 10, hvor vi underforstår længdeenheden 1 cm . Topvinklen er C = 40º, så A = B = 70º, og højden h_c er da bestemt ved

tan(A) = h_c/(c/2) eller

h_c = (c/2)·tan(A) , og desuden haves

b = (c/2)/cos(A) .

Vi har da

T = (1/2)h_c·c , og dermed

R = abc/(4T) = b²c/(cos²(A))/(2h_c·c) = (c³/4)/(cos²(A)·c²·tan(A)) = c/(4sin(A)cos(A)) = c/(2sin(2A)) = 10/(2·sin(140º) = 7,779

Ok, hold tungen lige i munden, og lav en skitse over hvad jeg skriver.. Eller har du ingen chance for at forstå det.. Jeg går ud fra du kan huske hvad en midtnormal er, og hvordan sinus-relationen og pythagoras' læresætning lyder. Ellers må du slå op (eller spørge)..

I opgaven er en trekant ABC, hvor A og B er de store vinkler. Vi kender desuden sidelængden |AB|=10cm

Da vi kender alle vinker og en side kan de to sidste sidelængder (som er ens) også findes, fx ved sinusrelationen.

Tegn den korte sides (AB's) midtnormal (hele vejen gennem trekanten, indtil den skærer i C). Kald punktet hvor denne midtnormal skærer AB for D. (Dette er AB's midtpunkt!) Midtnormalens længde kan nu udregnes (med pythagoras' formel brugt på trekant ACD).

Tegn AC's midtnormal. Punktet hvor denne midtnormal skærer vores første midtnormal (og derfor centrum for den omskrevne cirkel) kalder vi E. Som du selv siger er det nu afstanden |CE| vi er interesserede i. Kald iøvrigt midtpunktet af AC for F.

Pyyh, det var vist bogstavgymnastik nok..

Nu skal du bare "lege" lidt med ensvinklede trekanter.. Overbevis dig selv om at ACD og CEF er ensvinklede! Herefter bruger du sætningen om ensvinklede trekanter, som siger at "forholdet mellem to ensliggende sider er konstant". Det betyder fx at

|CF|/|CD|=|CE|/|AC|

Du kender |CF| (som er halvdelen af |AC|, som du kunne beregne tidligere), |CD| (som er den længste midtnormals længde) og |AC| (som er sidelængden i den oprindelige trekant).

Værs'go' og isolér |CE|!

/Jeppe

                                                                       T                                     T

                                            (1/2)·(5/cos(70º))·10·sin(70º)  =  2R²·sin(40º)·sin²(70º)

                                            R² = (25/2) / (cos(70º)·sin(40º)·sin(70º))

                                            R = [12,5 / (cos(70º)·sin(40º)·sin(70º))]^½

 #1

Nice one... 

#1

er suverænt nemmest

Puuha, man kommer hjem fra arbejde til en ordentlig mundfuld :O Nå, jeg prøver lige ^^  Tak allesammen.. BRB :D

Tak for hjælpen alle sammen. Jeg brugte svar nummer 3, da det gav den klart bedste forklaring! :) Tak tak

Afstanden er 7.77 cm ;)   - Vender helt sikkert tilbage med endnu flere ting, jeg ikke kan finde ud af :D  Håber på lige så god respons!

Igen mange tak! :)

Mvh Mette