Algebra (Grupper)

Hvis jeg ikke selv havde regnet den opgave en gang ville jeg have meget svært ved at forstå hvad du spørger om. Som du skriver den er den faktisk ikke til at løse, da du har skrevet σ₂ forkert op. og da du skriver τ op anden gang skriver du også forkert. 5 går til 2, ikke 3

For at vise at τ ikke er lige skal du finde sgn(τ). Der skal du bare bruge at hvis σ er en r-cykel er sgn(σ) = (-1)^r-1 . du ved at τ er produktet af en 3-cykel og en 2-cykel. så bruger du bare at sgn er en homomorfi. (alt i alt en meget besværlig måde at komme frem til udregningen -1·1 = -1)

at udregne at τσ₁τ^-1 = σ₂ kan gøres ved at gange dem sammen og regne løs, eller noget nemmere ved at bruge at når σ er en k-cykel, (i₁,...,i_k) , og τ er en permutation i S_n, så er  τστ^-1 = (τ(i₁),...,τ(i_k)). 

jamen ved at vise at τ ikke er lige er det det samme som at vise at τ∉A₅ 

Har du læst definitionen af A₅? det er mængden af alle lige permutationer i S₅.

okay tak, men hvordan kan man begynde at gange det der udtryk ud  τστ^-1?

det med at gange det ud er bare at regne løs på

τστ^-1 = (13)(245)(1)(2)(345) ((13)(245))^-1, men det er ikke meningen at du skal gøre det på den måde. 

brug lemmaet., så er der stort set ingen udregninger. Når du først finder ud af hvordan man bruger lemmaet er det meget nemt.

okay tak ska du ha.

jeg har lige et til spørgsmål.

Når jeg nu har fået nogle cykel typer, fx, 1≤1≤1≤1≤1, og 1≤2≤ 2 og 1≤1≤ 3 og 5. så skal jeg vise at permutationerne her er lige.

jamen permutationen svarende til  1≤1≤1≤1≤1 er det ikke (a)(b)(c)(d)(e) og derefter bruge det at (-1)^r-1

men her får jeg ikke at permutationen bliver lige, hvordan kommer jeg ellers igennem det?

tak :)

1≤1≤1≤1≤1 er neutralelementet i S₅. og da sgn er en homomorfi er sgn(e) = 1. alternativt kan du bruge den sætning du foreslår og sige at 1≤1≤1≤1≤1 er en 1-cykel, og (-1)^1-1=1. Jeg kan ikke se hvordan du får den til at blive ulige.

jamen 1 er da ikke et lige tal, altså snakker vi om positivt eller negativt 1?  

jeg er ikke sikker på at jeg forstår det spørgsmål. En permutation, σ, er lige hvis sgn(σ)=1, og ulige hvis sgn(σ)=-1. Det er definitionen.
 

oki yes :) men hvordan kan man give et exempel af to 5-cycler som ikke er konjugerede via en permutation i A₅ ? 

Du skal bruge det samme lemma som i de andre opgaver. Se på to 5-cykler σ₁,σ₂, så giver lammaet en masse information om den permutation,τ i S₅, der opfylder τσ₁τ^-1= σ₂. (da  σ₁ og σ₂, har samme cykeltype ved du endda at τ findes i S₅.) Du skal dog lige tage højde for at du kan skrive den samme 5-cykel på 5 forskellige måder (abcde)=(eabcd)=(deabc)=osv.

ja, men de skal jo ikke være konjugerede.

og har du måske tid til at se på den tråd jeg har lavet der hedder "algebra grupper" der er en opgave jeg lige er gået i stå med.  

De er konjugerede i S₅, men du skal vise at de ikke er konjugerede i A₅. 

ja det er jeg ved jeg godt :S, men hvordan bærer jeg mig af med det, jeg er ikke så god til bevis førsel :(