Matematik

Vektorer i planen

13. april 2005 af smount (Slettet)

Hejsa, jeg har et simpelt bevis som jeg ikke er helt sikker på hvordan jeg skal udføre.
Det lyder således:

Vi har to paralelle vektorer a og b.
så skal jeg bevise at
|a|+|b| = |a + b|

Jeg håber på noget hjælp, da jeg ikke er så god til beviser.

med venlig hilsen

Sean M

Brugbart svar (0)

Svar #1
13. april 2005 af Mads123 (Slettet)

Jeg er heller ikke god til beviser, men skal de to vektorer ikke også have samme retning?

Svar #2
13. april 2005 af smount (Slettet)

jeg tror det ikke - og det bør da ikke have nogen betydning for opgaven? eller er jeg helt galt på den?

please correct me if im wrong!

Brugbart svar (0)

Svar #3
13. april 2005 af Mads123 (Slettet)

Hvis du har to ens vektorer, men er modsat rettede, vil de jo give en nulvektor.

Brugbart svar (0)

Svar #4
13. april 2005 af gorilla (Slettet)

kan du fortællemig hvor det står i bogen for så kan jeg se på det til dig?

Svar #5
13. april 2005 af smount (Slettet)

mads123\\\\ det er jo stadig en løsning i teorien - og det er vel teori man skal bruge i et bevis?

gorilla\\\\ det er ikke en bog, men derimod en eksamensopgave :-(

Brugbart svar (0)

Svar #6
13. april 2005 af gorilla (Slettet)

nårhhh ups..

Brugbart svar (0)

Svar #7
13. april 2005 af gorilla (Slettet)

jamne du kunne jo prøve at sætte a1, a2,b1, og b2 ind for at finde længden af vektor a + b og sågøre det samme for at finde længden af vektor a + længden af vektorb. du kunne også eventuelt bruge et eksempel med tal først og derefter via din sunde fornuft se om du ikke kan fådet til at passe! håber du kunne bruge det til noget fornuftigt!

Svar #8
13. april 2005 af smount (Slettet)

tak for rådet, men det giver ikke fuldt point for opgaven - men hvis jeg ikke kan finder ud af beviset, må jeg stille mig tilfreds med sådan en løsning...

Brugbart svar (0)

Svar #9
13. april 2005 af Mads123 (Slettet)

Ok, du har en vektor a=[2,1] og b=[2,1], men modsat rettet.
|a|+|b|:
|a|=sqrt(2^2+1^2)=sqrt(5)

sqrt(5) + sqrt(5) = 5

|a+b|:

[2,1]-[2,1] = [0,0] = 0

Kan du se det?

Svar #10
13. april 2005 af smount (Slettet)

mads123\\\\ ja, jeg kan godt se hvad du mener. men bare fordi resultatet ser lidt mærkeligt ud i et tilfælde, kan man ikke konkludere at formlen ikke kan bruges.
For hvis de to vektorer ikke er lige lange, duer formlen jo godt, også selvom de er modsatrettede...

Brugbart svar (0)

Svar #11
13. april 2005 af Mads123 (Slettet)

Nej, den gør ej! Dumt eksempel, da man tit kan tro 0 er et specielt tilfælde.

a=[2,1] og b=[7,3], men modsat rettet.
|a|+|b|:

|a|=sqrt(2^2+1^2)=sqrt(5)
|b|=sqrt(7^2+3^2)=sqrt(58)

sqrt(5) + sqrt(58) = 9.85...

|a+b|:

[2,1]-[7,3] = [-5,-2] = sqrt(5^2+2^2) = sqrt(29) = 5.39..

Brugbart svar (0)

Svar #12
14. april 2005 af Epsilon (Slettet)

#10: Korrekt.

#11: Jamen nej! Hvor har du lært at addere vektorer? Hvis

a = [2,1] og b = [7,3], så er

a + b = [2,1]+[7,3] = [9,4]

og længere er den ikke.

Dette;

[2,1]-[7,3] = [-5,-2] = sqrt(5^2 + 2^2) = sqrt(29)

er strengt forbudt! En vektor og dens længde er to vidt forskellige ting.

//Singularity

Brugbart svar (0)

Svar #13
14. april 2005 af Epsilon (Slettet)

smount,

Lad a og b være parallelle vektorer. Vi skal vise, at

|a|+|b| = |a+b| (*)

eller, hvad der er ækvivalent hermed, at

(|a|+|b|)^2 = |a+b|^2 (**)

Tilfælde 1:
Hvis a eller b er nulvektoren, er det trivielt.

Tilfælde 2:
Antag omvendt, at a og b ikke er nulvektoren. Da a og b er parallelle, findes s E R\\{0}, så

b = sa

hvorved

b*b = |b|^2 = (sa)*(sa) = (s^2)(a*a) = (s^2)|a|^2

så

|b| = s|a| (1)

og

a*b = a*(sa) = s(a*a) = s|a|^2 (2)

ifølge de sædvanlige regneregler for skalarproduktet.

Udregning af venstresiden i (**)

(|a|+|b|)^2 =
|a|^2 + |b|^2 + 2|a||b| =
|a|^2 + |b|^2 + 2s|a|^2

hvor vi ved sidste lighedstegn brugte (1).

Udregning af højresiden i (**);

|a+b|^2 =
(a+b)*(a+b) =
a*a + b*b + 2(a*b) =
|a|^2 + |b|^2 + 2s|a|^2

hvor vi ved sidste lighedstegn brugte (2).

Hermed er beviset ført.

//Singularity

Svar #14
14. april 2005 af smount (Slettet)

Singularity\\\\ jeg bukker pænt og siger mange tak - for dette er uden tvivl det bedste svar jeg nogensinde har fået i dette forum.

mange tak.

Brugbart svar (0)

Svar #15
14. april 2005 af Mads123 (Slettet)

Okay ret dårligt skrevet af mig. Prøver lige at skrive det ordenligt.

a=[2,1] og b=[-7,-3].
|a|+|b|:

|a|=sqrt(2^2+1^2)=sqrt(5)
|b|=sqrt(7^2+3^2)=sqrt(58)

sqrt(5) + sqrt(58) = 9.85...

|a+b|:

[2,1]+[-7,-3] = [-5,-2] = sqrt(5^2+2^2) = sqrt(29) = 5.39..

Kan ikke se hvad der er forkert i det.

Brugbart svar (0)

Svar #16
14. april 2005 af allan_sim

#0, 12, 13. Hmmmmm.......

Lad a=(2,1) og b=(-2,-1) Da er a og b parallelle vektorer, idet b=-1*a.

Vi har,

|a|=rod(2^2+1^2)=rod(5)
|b|=rod((-2)^2+(-1)^2)=rod(5)

så |a|+|b|=2rod(5)

a+b=(2-2,1-1)=(0,0)
|a+b|=0^2+0^2=0

Følgeligt er |a|+|b| ikke lig med |a+b|, så sætningen gælder ikke generelt. Mads har nok ret i, at vektorerne skal være parallelle og ensrettede. Hvis de ikke er ensrettede, kan man i hvert fald ikke slutte (1) i beviset i #13.

Brugbart svar (0)

Svar #17
14. april 2005 af Epsilon (Slettet)

#15: Der er såmænd det galt, at dette;

"[-5,-2] = sqrt(5^2 + 2^2)"

er meningsløst.

En to-dimensional vektor (venstresiden) og et reelt tal (højresiden) er to forskellige matematiske objekter (jf. #12), hvorfor lighedstegnet slet ikke giver mening. Derimod er dette;

|a+b| = sqrt((-5)^2 + (-2)^2) = sqrt(29)

veldefineret, eftersom længden af en vektor er et (positivt) reelt tal.

//Singularity

Brugbart svar (0)

Svar #18
14. april 2005 af Mads123 (Slettet)

Selvfølglig, men du forstod vel godt hvad jeg mente :)
Men vi er vel enige om det nu?

Brugbart svar (0)

Svar #19
14. april 2005 af Epsilon (Slettet)

#16: Naturligvis skal der i #13 stå

s > 0

i stedet for "s E R\\{0})".

smount,
Nu vi er ved det, kan vi lige så godt vise følgende:

"Lad a E R^2\\{(0,0)} og b E R^2. Så gælder

|a|+|b| = |a+b|

hvis og kun hvis der findes et reelt tal s >= 0, så b = sa."

- et lidt stærkere resultat end det oprindelige.

Vi har vist implikationen

Lad derfor

|a|+|b| = |a+b|

og lad os vise, at så er b = sa for et s >= 0. Jf. #13 skal vi blot vise, at

a*b = |a||b|

medfører, at enten er b nulvektoren (s=0) eller også er a og b ensrettede (s>0). Men det følger af

a*b = |a||b|*cos(u)

hvor u E [0;pi] er vinklen mellem a og b, at

|a||b|*cos(u) = |a||b|

Nu er |a| jo ikke 0, så enten har vi

|b| = 0 <=> b = (0,0) = 0a

eller

cos(u) = 1 <=> u = 0deg

Sidstnævnte betyder som bekendt, at a og b er ensrettede;

b = sa

for et s > 0, og beviset er ført.

//Singularity

Brugbart svar (0)

Svar #20
14. april 2005 af Epsilon (Slettet)

#18: Det håber jeg sandelig :-)

//Singularity

Skriv et svar til: Vektorer i planen

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.