Matematik
de moivres formel
Hej, jeg sidder og fedter lidt med komplekse tal, da jeg skal have om kvantemekanik i min SRP, og de jo er en væsentlig del af matematikken til beskrivelsen af dette emne. Jeg er nået til De Moivres formel, som udtrykker, at for et komplekst tal z opløftet i n'te så er:
z^n = lzl^n * (cos(nv) + i sin(nv)), hvor v er argumentet for z således, at: v = argz
Udledningen kan jeg dog ikke helt følge:
De starter med at skrive, at:
z^n = (lzl(cosv + i * sinv))^n hvilket jo følger direkte af def. på et komplekst tal ud fra dets modulus og argument.
Det er den videre udledning hvor jeg går i stå; De skriver:
z^n = (lzl(cosv + i * sinv))^n
<=>
z^n = lzl^n (cos(arg(z^n) + i * sin(arg(z^n))
<=>
z^n = lzl^n * (cos(nv) + i sin(nv))
Den sidste omskrivning forstår jeg godt. Her bruger man jo blot, at arg(z^n) = n * argz. Det er omskrivningen:
z^n = lzl^n (cos(arg(z^n) + i * sin(arg(z^n))
som volder mig problemer. Bruger de nogle trigonometriske formler eller skal man bruge nogle regneregler for modulus?
Svar #1
02. november 2010 af Andersen11 (Slettet)
Benyt, at
cos(θ) + i·sin(θ) = eiθ .
Dermed er
(cos(θ) + i·sin(θ))n = einθ = cos(nθ) + i·sin(nθ)
Svar #2
02. november 2010 af peter lind
z = r(cos(φ) +isin(φ) = reiφ
zn = (reiφ)n = = rn*(eiφ)n = rn*eiφ*n = rn(cos(nφ)+isin(nφ))
Det bemærkes at de almindelige potensregler også gælder for komplekse tal
Svar #3
02. november 2010 af aaaa202 (Slettet)
I bruger så vidt jeg kan se Eulers formel, men den er jeg slet ikke blevet introduceret for endnu, og jeg kan godt lide, at jeg har fuldstændig styr på forståelsen af beviserne, før jeg går videre. Altså må formlen kunne bevises på andre måder. Hvis I ser dette og har svaret på, hvordan vil jeg meget gerne have det. Men ellers mange tak for den hurtigt hjælp :-)
Svar #4
02. november 2010 af Andersen11 (Slettet)
#3
I den omskrivning benyttes blot, at zn også er et komplekst tal og derfor kan skrives på formen
zn = |zn|·(cos(arg(zn)) + i·sin(arg(zn))) ,
så hvis det er kendt, at arg(zn) = n·arg(z) og |zn| = |z|n , skulle det være ligetil.
Skriv et svar til: de moivres formel
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.