afstand fra punkt til linje(parameterfremstilling)

 Er det rumgeometri eller plangeometri, vi er ude i ?

....i rummet...

Det nemmeste er nok at finde linjens ligning som f(x,y) = 0. Tværvektoren til retningsvektoren er normalvektor til linjen, så sammen med et vilkårligt punkt på linjen kan du finde f(x,y) = ax+by+c=0 Afstanden fra (x₀,y₀) til linjen er så |ax₀+by₀+c|/kvrod(a²+b²)

 #3 du skal lige have den tredje koordinat med :-)

#3 er altså svaret ud fra at det var i planen. I stedet find ligningen for den plan der har tværvektoren til  linjens retningsvektor som normalvektor og som går gennem det givne punkt P. Find det punkt P1 hvor linjen skærer planen. Afstanden mellem P1 og P2 er det givne punkt

hm... tværvektor i rummet? det lyder underligt i mine ører.....?
 

Lad linien være bestemt ved et punkt P₀ samt en retningsvektor r . Ethvert punkt Q på linien kan da angives ved

OQ = OP₀ + tr , t ∈ R

Lad der nu være givet et punkt P, og vi søger afstanden d fra P til linien. Vi søger altså det punkt Q på linien, så at PQ står vinkelret på linien, dvs så PQ•r = 0 . Vi har nu

PQ = PP₀ + P₀Q = PP₀ + P₀O + OQ = PP₀ + tr . Vi får nu

PQ•r = PP₀•r + tr•r = 0 , hvoraf

t = -PP₀•r/|r|² .

Afstanden d fra P til linien er da katete i en retvinklet trekant, hvis anden katete er |P₀Q| og hvis hypotenuse er |PP₀| . Da nu

|P₀Q| = |t|·|r| , har vi

d² + t²|r|² = |PP₀|² , har vi

d² = |PP₀|² - (PP₀•r)²/|r|²

 Ja, det lyder helt forkert