Matematik
Funktion-matematik opgaver
Har knoklet i lang tid med opgaverne, og kan ikke gennemskue dem...
-------------------------------
Brobuen på figuren, har form som en del af en parabel, mens vejbanen er en ret linje - målene på figuren går på det nederste af brobuen.
[Her er figur af en buet bro, med længden 80 m og højden 20 m hvor den er højest - der er endvidere 7 "hængere" (pinde) som forbinder parablen i toppen med vejbanen]
Angiv en forskrift for den parabel, der dannes af det nederste af brobuen, idet korrdinatsystemets nulpunkt anbringes midt på vejbanen og vejbanen er x-akse.
De 6 mellemrum mellem de lodrette "hængere" og afstanden fra den sidste hænger til det punkt, hvor brobuen rammer vejbanen, er alle lige store. Bestem de 7 "hængeres" længder.
[Svaret til denne opgave er, ifølge facitlisten:
f(x) = -(1/80)x^2+20
20 ; 18,75 ; 15 ; 8,75
- men kan ikke finde ud af hvordan jeg skal regne opgaven ud]
--------------------------------------------
Ejeren af et hus ønsker at lave et vindue i gavlen på 1. sal. Husets mål fremgår af figuren. Hvilke mål (højde og bredde) skal vinduet have, når dets areal skal være størst muligt?
Vink: Benyt det korrdinatsystem der er vist, til at opskrive en ligning for den skrå linje, der beskriver taget.
Se tegningen her: http://www.team-nobugs.com/matafl.gif
Det skal forestille at døren og vinduets side flugter med "topkassen" i tagets side.
Håber virkelig nogen kan hjælpe mig!
På forhånd tak
/Jacob Berget
Svar #1
24. april 2005 af sontas (Slettet)
og tp = (0,20m)
0 = -b/2a ego må b = 0
r1 = -40m og r2 = 40m
herved kan følgende opstilles tp indsættes :
20 = a(0+40)(0-40) <=>
20 = -1600a
prøv at se om du kan opstille en forskrift for funktionen så. Angående hængernes længde er det blot f(0), f(10), f(20),f(30), f(40)
Svar #3
24. april 2005 af jacobberget (Slettet)
0 = -b/2a - hvor får du dette fra?
Ud fra 20 = -1600a kan det bestemmes at a = -(1/80).
Altså herfor forskriften f(x)=-(1/80)^2+20
Jeg kan vel blot indtegne funktionen på min grafregner, og herudfra finde de passende y-værdier for hhv. 0, 10, 20 og 30...
Hvad med den næste opgave? Hvordan kommer jeg igang med den?
Svar #4
24. april 2005 af sontas (Slettet)
0 = -b/2a. Det eneste tidspunkt en brøk kan være 0 på, er hvis tælleren er 0.
Angående den anden ville jeg benytte mig af ensvinklede trekanter. Hvor den ene har grundlinjen 7 og højden 4(den store trekant) og den anden har grundlinjen x og højden 4-y. Af ensvinklede trekanter fås:
x/7 = (4-y)/4 <=>
y = -4/7x + 4
og arealet af trekanten vil være givet ved x*y derved fås
A(x) = -7/4x^2 + 4x
find toppunktet for denne og du har maxarealet og førstekoordinaten (x) til dette og herved kan du let finde y.
Svar #5
26. april 2005 af jacobberget (Slettet)
Hvad angår den anden opgave, så har jeg gjort som følger, ud fra det jeg har forstået af det du sagde:
topp (x,y) = (-b/2a , -d/4a)
Altså:
x = -4/(2*(-7/4)) = 8/7
y = -(4^2)/4*(-7/4) = 16/7 (passer det at -d blot er lig 16, idet c er lig 0 i ligningen?!)
Herved har jeg toppunktet - skal jeg så sætte min x værdi ind i y=-(4/7)+4 ? Så kommer jeg frem til at y=3,35
Er det rigtigt? Og er det så højden på den lille trekant?
Svar #6
26. april 2005 af jacobberget (Slettet)
Svar #7
26. april 2005 af Epsilon (Slettet)
Hvis vi indlægger et koordinatsystem med begyndelsespunkt O midt på gavlens nedre rand, så er en ligning for linien gennem (7/2,0) og (0,4)
y = 4 - 8/7*x
Længden af rektanglet er 2x, og arealet er derfor
A(x) = 2x*(4 - 8/7*x) = 8x - 16/7*x^2 (*)
for x E [0;7/2]
Argumentet i #4 med ensvinklede trekanter er ligeledes korrekt; blot angiver x i stedet længden af rektanglet (i modsætning til den halve længde af rektanglet ovenfor).
//Singularity
Svar #8
26. april 2005 af jacobberget (Slettet)
Det du har forklaret i #7, er det en anden måde at regne det samme ud på, eller hvorledes?
Svar #9
26. april 2005 af Epsilon (Slettet)
"Vink: Benyt det korrdinatsystem der er vist, til at opskrive en ligning for den skrå linje, der beskriver taget."
Som nævnt i #7 må der være tale om en slåfejl; den korrekte arealfunktion i henhold til metoden i #4 er naturligvis
A(x) = 4x - 4/7*x^2, x E [0;7]
og dermed er
d = b^2 - 4ac = 16 (idet c = 0)
hvorved toppunktets koordinater er
x_T = -b/(2a) = (-4)/(-8/7) = 7/2
y_T = -d/(4a) = (-16)/(-16/7) = 7
og vinduets højde er så
h = 4 - 4/7*(7/2) = 2
Dimensioneringen
x = 7/2, h = 2
giver derfor det maksimale areal A(7/2) = 7 (jf. toppunktets y-koordinat) af det rektangulære vindue i gavlen. Kontrollér selv, at med arealfunktionen givet i #7 får man nøjagtig samme resultat.
Alternativt kan man bestemme A'(x) og så opsøge maksimumsstedet derudfra. Konklusionen er den samme.
//Singularity
Svar #10
26. april 2005 af jacobberget (Slettet)
x = 7/2, h = 2
giver derfor det maksimale areal A(7/2) = 7 (jf. toppunktets y-koordinat) af det rektangulære vindue i gavlen. Kontrollér selv, at med arealfunktionen givet i #7 får man nøjagtig samme resultat.
Kan du ikke forklare ovenstående på en lidt mere pædagogisk måde - forstod det ikke rigtigt.
Svar #11
26. april 2005 af Epsilon (Slettet)
(x_T, y_T) = (7/2, 7)
giver maksimumsstedet x_T = 7/2, som er længden af vinduet med det maksimale areal, og y_T = 7 er det maksimale areal af vinduet. Parablen er jo graf for arealfunktionen
A(x) = 4x - 4/7*x^2
så andenkoordinaten til toppunktet er det maksimale areal.
Højden af vinduet var
y = 4 - 4/7*x
og for x = 7/2 fås højden af vinduet med det maksimale areal;
y = 4 - 4/7*(7/2) = 2
- denne højde betegnede jeg i #9 med h. Dimensionerne af vinduet med det maksimale areal er således;
x = 7/2 (længde)
y = 2 (højde)
Bemærk i øvrigt, at de øverste hjørner på dette vindue falder præcis midt på de skrå liniestykker, som beskriver tagryggen.
Blev det mere forståeligt?
//Singularity
Skriv et svar til: Funktion-matematik opgaver
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.