Matematik

2. ordensdifferentialligninger

20. december 2010 af Canuck (Slettet) - Niveau: A-niveau

H ej Studieportalen.

Jeg håbede på at der var nogen der kunne hjælpe mig med at hjælpe en med noget matematik.

Opgaven lyder at man har en differentialligning (d^2*x)/(dt^2)=-k*x hvor k er en positiv konstant.

Ud fra dette skal man løse bestemme forskrift.

Stedfunktionen s(t) for en harmonisk svingning er givet ved begyndelsesværdiproblemet
s´´(t)=-25*s(t) , s(0) = 0 og s´(0) = 2.

Der skal bestemmes en forskrift for s(t). Desuden skal svingningens amplitude og svingningstid bestemmes.

Jeg er helt blank på dette punkt og hvis nogle kunne komme med nogle pointers for at lige sætte mig igang. Må indrømme det er lang tid siden med matematik på denne form.

Det der kniber med selve metoden. Det er 4-5 år siden jeg har afsluttet mat på a niveau på stx så metoden er desværre gået i glemmebogen.

Brugbart svar (1)

Svar #1
20. december 2010 af AMelev

Check lige - står der ikke d²x/dt² = -k·x²? Ellers er det ikke en harmonisk svingning.

Se lærebøger eller fx www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/paradigmatiske/not/n114-2.doc.
NB! Dit k svarer til k² i materialet.

Brugbart svar (1)

Svar #2
21. december 2010 af Andersen11 (Slettet)

Der skal netop ikke stå d²x/dt² = -k·x² , men derimod d²x/dt² = -k·x for at få harmoniske svingninger som løsninger til differentialligningen. DIfferentierer man sin(x) eller cos(x) to gange, får man jo minus funktionen som resultat.

Brugbart svar (0)

Svar #3
21. december 2010 af AMelev

Ja, det er mig, der megavrøvler, hvilket også vil fremgå af materialet.

Brugbart svar (1)

Svar #4
21. december 2010 af mathon

...da for
x(t) = c₁·cos(ω·t) + c₂·sin(ω·t)

dx/dt = -ωc₁·sin(ω·t) + ωc₂·cos(ω·t)

d²x/dt² = -ω₂c₁·cos(ω·t) - ω²c₂·sin(ω·t) = -ω²(c₁·cos(ω·t) + c₂·sin(ω·t))

d²x/dt² = -ω²·x(t)

....................

x(t) = c₁·cos(ω·t) + c₂·sin(ω·t) kan omskrives
til
x(t) = A·sin(ω·t+φ)
og man har
x_o = A·sin(φ)

v_o = x '(t) = ωA·cos(φ)

v_o/ω = A·cos(φ)

hvoraf
                                    tan(φ) = ω·x_o/ v_o

                                    φ = tan^-1(ω·x_o/ v_o)

A = x_o/sin(φ)

ω = v_o/ (A·cos(φ))

Svar #5
21. december 2010 af Canuck (Slettet)

Kanon svar mathon mange tak!

Men skal jeg ikke også benytte mig af karakterligningen for at finde rødder eller noget i den dur?

Eller husker jeg forkert?

Brugbart svar (0)

Svar #6
21. december 2010 af AMelev

Du skal benytte dine oplysninger (randbetingelser) s(0) = 0 og s´(0) = 2 til at bestemme c1 og c2 (eller A og φ).

Skriv et svar til: 2. ordensdifferentialligninger

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.