Differentiering uden hjælpemidler

Vi mangler lidt regnetegn og/eller parenteser i dit udtryk -

Differentier først mht. x i eksponenten, derefter mht. x som grundtal.

(8*x)^(8*x)

synes bare ikke jeg kan få det til at give det min lommeregner siger, ligemeget hvordan jeg gør... det er vel noget med at bruge en indre-ydre-differentiering ville jeg næsten tro, men det giver ikke det samme

Vi har

f(x) = (8x)^8x = e^8x·ln(8x) , så

f'(x) = e^8x·ln(8x)·(8x·ln(8x))'

      = e^8x·ln(8x)·(8·ln(8x) + 8x·8/(8x))

      = e^8x·ln(8x)·(8·ln(8x) + 8)

      = 8·(8x)^8x·(ln(8x) + 1)

Med g(x) = x^x = e^x·ln(x) , fås

g'(x) = e^x·ln(x)·(x·ln(x))'

        = e^x·ln(x)·(ln(x) + 1)

        = x^x·(ln(x) + 1),

så

df(x)/dx = 8·df(x)/d(8x) = 8·dg(8x)/d(8x) = 8·(8x)^8x·(ln(8x) + 1) 

 Tak skal du have! lige hvad jeg manglede 

#5
Jeg har løst opgaven på den måde, jeg har antydet i #2.
Men jeg savner en forklaring på, hvorfor den metode giver det rigtige resultat.
Udregning vedlagt.
Der mangler måske nogle gangetegn, men alle parenteserne skule være der.
 

#5

Kommenter venligst vedhæftede fil

Om igen

#9

Det er kædereglen, der anvendes her:

Med y(t) = h(g(t);f(t)) fås

dy/dt = ∂h/∂x(g(t);f(t))·g'(t) + ∂h/∂y(g(t);f(t))·f'(t)

Tak for svaret.

Din notation for dy/dx, må være noget der er indført efter jeg gik ud af skolen, men jeg forstår meningen.

#11

Der er tale om de partielle afledede af en funktion af to variable h = h(x,y) .

It is nobler to declare oneself wrong than to insist on being right - especially when one is right.
Friedrich Nietzsche, Thus Spoke Zarathustra
Jeg holder meget af Nietzsche, men jeg er et stædigt gammelt æsel, så jeg fortsætter.
 

Med y(t) = h(g(t);f(t)) , hvordan kommer x så ind i billedet?

Jeg ville tro at dy/dt =(∂h/∂g)·(∂g/∂t) +  (∂h/∂f)·(∂f/∂t)

#13

Det kommer ind ved, at h = h(x,y) er en funktion af to variable, og x = g(t) og y = f(t) . Og det er forkert at bruge partiel differentiationstegnet ved de afledede af g og f, da disse er funktioner af een variabel, derfor er det dg/dt og df/dt.

#14

Rettelse:
dy/dt =(∂h/∂g)•(dg/dt) + (∂h/∂f)•(df/dt)

Det er notationen i #10 jeg ikke forstår
dy/dt = ∂h/∂x(g(t);f(t))•g'(t) + ∂h/∂y(g(t);f(t))•f'(t)
 

Jeg læser det som x og y begge er funktioner af g(t) og f(t)

Ignorer #15

Jeg har decifreret det. Jeg ser nu at det skal læses som x=g(t) og y=f(t)

Jeg ikke tidligere stødt på den notation, og synes den er lidt vanskelig at læse.

 ∂h/∂x(g(t);f(t)) er den afledede af h mht. x idet x= g(t), så det svarer til  ∂h/∂g

 Skrevet helt ud ∂h(g(t),f(t))/∂g(t)
 

Tak for hjælpen -

Mistakes show us what we need to learn.
Peter McWilliams