Matematik

Matematik (tekstopgave)

05. januar 2011 af KatrineRGBH (Slettet)

Hej. Mit svage punkt i matematik er tekst opgaver. Og nu har jeg fået et opgavesæt kun med tekstopgaver. Jeg har løst alle undtagen én, som jeg simpelthen ikke kan finde ud af. Efter flere timer med hovedet i min matematikbog, så håbede jeg, der var nogle genier herinde, der kunne hjælpe :)

Opgaven lyder således:

I en nationalpark i USA regner man med, at der er plads til, at der kan leve 100 gråbjrne. Til tiden t=0 er der 10 bjørne i parken. Vi går ud fra, at væksten i bjørnebestanden er logistisk, dvs. væksthastigheden er proportional med både populationen y og størrelsen 100-y, og at proportionalitetsfaktoren er 0,001.
Angiv den funktion y=f(t), der beskriver antallet af bjørne til tidspunktet t og tegn en graf for funktionen.
Hvilke værdier af t og y giver mening?
Hvornår er populationen 25? - og 50?
Hvornår bliver bestanden af bjørne konstant?

Håber på noget hjælp, da jeg virkelig ikke kan finde ud af den!

Brugbart svar (0)

Svar #1
05. januar 2011 af peter lind

Væksthastigheden er dy/dt . At væksthastigheden er proportional med både populationen y og størrelsen 100-y betyder at den kan skrives som k*y(100-y), hvor k er proportionalitetsfaktoren

Svar #2
05. januar 2011 af KatrineRGBH (Slettet)

Hvordan kan det så regnes ud?

man har da ikke alle faktorerne?

Brugbart svar (0)

Svar #3
05. januar 2011 af peter lind

Jo. Det giver en differentialligning, som du kan løse ved brug af et CAS værktøj.

Svar #4
05. januar 2011 af KatrineRGBH (Slettet)

så jeg skal differentiere også solve? :)

Brugbart svar (0)

Svar #5
05. januar 2011 af peter lind

Du skal ikke differentiere; men løse en differentialligning. Dette kan gøres med et CAS værktøj. Hvordan dette præcis skal gøres er afhængig af hvilket CAS værktøj, du har.

Brugbart svar (0)

Svar #6
05. januar 2011 af EmilieBN (Slettet)

Jeg sidder med samme opgave. Jeg har en CAS Nspire. Jeg fik den for en måned siden, så er ikke helt tjep på hvad jeg gør.

Hvordan kan man løse den? ved at sætte den lig nul?

Brugbart svar (0)

Svar #7
05. januar 2011 af mathon

alment
dy/dx = a·y·(M-y)

har løsningen
                                y = M/(1+C·e^-aMx)        hvor
                                                                    M er maksimum, a er proportionalitetskonstanten og
                                                                  C er en integrationskonstant

Brugbart svar (1)

Svar #8
05. januar 2011 af mathon

dvs

dy/dt = 0,001·y·(100-y)

har løsningen

y = 100/(1+C·e^-0,1t) bestemt af

10 = 100/(1+C·e^-0,1·0)

10 = 100/(1+C·1)

C+1 = 10

C = 9
og dermed

y = 100/(1+9·e^-0,1t) t≥0 og 0<y≤100

.........

beregning af t
1+9·e^-0,1t = 100/y

9·e^-0,1t = (100-y)/y

e^-0,1t = (100-y)/(9y)

e^0,1t = (9y)/(100-y)

0,1t = ln((9y)/(100-y))

t = 10·ln((9y)/(100-y))

Skriv et svar til: Matematik (tekstopgave)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.