opgave

Opgave 1)
Du bruger et forkert argument for den skrå asymptote. En skrå asymptote er en ret linie, som approksimerer grafen for f bedre og bedre, når |x| vokser. Vi skal således gøre rede for, at afstanden mellem grafen for f og en vis ret linie nærmer sig 0, blot |x| bliver vilkårligt stor.

Mere præcist ser vi, at

|f(x)-(x+1)| = |1/(x+1)|

og idet

|1/(x+1)| -> 0 for x -> ± infty

kan vi heraf slutte, at linien med ligning

y = x + 1

er skrå asymptote til grafen for f.

Opgave 3)
Bemærk at ifølge opgaveformuleringen;

"Gør rede for, at 3. gradspolynomiet

p(x) = 1/3*x^3 – 3x^2 + 40

har netop ét nulpunkt."

bliver du ikke bedt om at bestemme nulpunktet. Du skal blot gøre rede for, at p har præcis ét nulpunkt. Et argument kunne gå på først at bestemme monotoniforholdene for p.

//Singularity

det er måske lidt nemmere hvis du kan se opgave 2)

du kan finde den her.

http://us.uvm.dk/gymnasie/almen/eksamen/opgaver/sommer03/2003-8-8-UDEN.pdf

Ang opg 2)

så er A's førstekoordinat

sqrt(2)

da vi jo har en ligebenet trekant i
trekant OAT, hvor T er t's tangentpunkt på den lille cirkel.


Duffy

Hmmm?

Jeg tror jeg er ved at være træt for idag for jeg mener at res må være
4/3 på af ensvinklede trekanter.
(tegningen snød mig)

Duffy

Opgave 2)
Lad os med T betegne tangentens røringspunkt med enhedscirklen og med P betegne røringspunktet med den store cirkel.
Da er trekanterne OAT og CAP tydeligvis ensvinklede.

Forstørrelsesfaktoren k er forholdet mellem cirkelradierne;

k = |CP|/|OT| = 2

Vi sætter |OA| = x og regner på hypotenuserne;

|OC| = |OA| + |AC| = x + 2x = 3x = 4 <=> x = 4/3

Førstekoordinaten til punktet A er lig |OA|, ergo

x_A = 4/3

//Singularity

Opgave 2)
Lad os med T betegne tangentens røringspunkt med enhedscirklen og med P betegne røringspunktet med den store cirkel.
Da er trekanterne OAT og CAP tydeligvis ensvinklede.

Forstørrelsesfaktoren k er forholdet mellem cirkelradierne;

k = |CP|/|OT| = 2

Vi sætter |OA| = x og regner på hypotenuserne;

|OC| = |OA| + |AC| = x + 2x = 3x = 4 <=> x = 4/3

Førstekoordinaten til punktet A er lig |OA|, ergo

x_A = 4/3

Lige et lille spørgsmål til denne her opgave.

lAPl = lPCl dvs 2

og så kunne man finde lACl vha. pytagors

lACl^2 = lAPl^2 + lCPl^2
lACl^2 = 2^2 + 2^2
lACl = kvadratrod af (4+4)
lACl = 2* kvadratrod (2)

og så kan man finde A ved at trække lACl fra 4 og det giver ikke 4/3

Det kan godt være at jeg har lavet en lille fejl. Jeg lavede opgaven på den måde i går aftes så nu da jeg skulle til at sammenligne resultaterne kunne jeg se at de ikke passer med hinanden.

Opgave 3)

p(x)= 1/3 x^3 – 3x^2 + 40

p`(x)= x^2 – 6x

d=b^2-4ac = 6^2 * 4*1*0 =36

x = (-b± sqr(d)) / (2a)
x= (6±6) / (2)
x = 6 v x= 0

så har jeg bar valgt 3 vilkårlige værdier.

p`(-2)= 16
p`(2) = -8
p`(8) = 16

ud fra de beregnede værdier kan man se at p er:
p er voksende i intervallet )-infty ; 0) og i (6 ; infty (
p er aftagende i intervallet (0 ; 6)
p har maksimum i x=0
p har minimum i x=6

så forstår jeg ikke hvordan man kan komme frem til at p(x) kun har et nulpunkt.

#6:

Opgave 2)
Du påstår, at

|AP| = |PC| = 2

hvorved trekant CAP (og dermed også OAT, idet trekanterne er ensvinklede) er ligebenet. Men det er forkert. Du bliver formentlig snydt af figuren, som Duffy ligeledes blev det i går (jf. #4). Lad os antage, at de er ligebenede, dvs.

|OT| = |AT| = 1
|AP| = |PC| = 2

Da er

|OA| = sqrt(|OT|^2 + |AT|^2) = sqrt(2)
|AC| = sqrt(|AP|^2 + |PC|^2) = sqrt(8)

ifølge den Pythagoræiske Læresætning, og dermed

|OC| = |OA| + |AC| = sqrt(2) + sqrt(8) = 3*sqrt(2) > 4

Men dette er en modstrid, eftersom C har førstekoordinaten 4.

Opgave 3)
I henhold til fortegnsvariation og nulpunkter for f' har vi, at

p er voksende i ]-infty;0]
p har lokalt maksimum i x = 0
p er aftagende i [0;6]
p har lokalt minimum i x = 6
p er voksende i [6;infty[

Idet

p(6) = 1/3*6^3 – 3*6^2 + 40 = 4 > 0

er p strengt positiv for x >= 0, ifølge monotoniforholdene. Endvidere er

p(-4) = 1/3*(-4)^3 - 3*(-4)^2 + 40

p(0) = 40 > 0

og da f er kontinuert på [-4;0], sikrer Mellemværdisætningen, at der eksisterer et reelt tal s E ]-4;0[, således at

p(s) = 0

Dermed har p et nulpunkt, endda præcis ét nulpunkt, idet p er strengt voksende på ]-infty;0].

Er du med nu?

//Singularity

ok! nu forstår jeg det!

TAK