At integrere en kvadratrod

Helt gal på den

Det bliver 

8·Arcsin(x/4) + x·√(16 - x^2)/2 + k

Først og fremmest: Hvad betyder Arc? Så kan man håbe, det går op for mig, hvordan du regner det ud :-)

                            ∫ √(16-x²)dx

sæt
            x = 4·sin(θ)       og dermed     dx = 4·cos(θ)·d(θ)
            x² = 16·sin²(θ)
            sin(θ) = (1/4)x
            θ = sin^-1((1/4)x)
          
          

hvoraf ved substitution

                            ∫ √(16-x²)dx  = ∫ √(16-16sin²(θ))4·cos(θ)·d(θ)  = 4·∫ √(16(1-sin²(θ)))·cos(θ)·d(θ) =

                              16·∫ √((1-sin²(θ)))·cos(θ)·d(θ)  = 16·∫ √(cos²(θ))·cos(θ)·d(θ) =

                              16·∫ cos²(θ)dθ  = 8·∫(1+cos(2θ))dθ  = 8(θ + (1/2)·sin(2θ)) + k  = 8(θ + sin(θ)·cos(θ)) + k =

                              8(θ + sin(θ)·√(1-sin²(θ)) + k

 som
    tilbagesubstitueres
    til
                              8·(sin^-1((1/4)x) + (1/4)x·√(1-(1/16)x²) + k  = 8sin^-1((1/4)x) + 2x·√(1-(1/16)x²)  =

                                                          8·sin^-1(x/4) + (x/2)·√(16-x²) + k      

Jeg har ikke rigtig forstået noget af det, men mange tak fordi i ville gøre jer den umage. Den dag jeg begynder at forstå integration ved substitution, kan jeg nok lære lidt af denne tråd :-)