Integration ved substitution?

 ∫ x/(x^2+1) dx

Lige umiddelbart kan vi ikke bruge nogen af de regneregler vi har i bogen til at integrere den her funktion. Så istedet bruger vi en substitution til at få funktionen til at ligne noget vi kender. Kunsten ligger i at kunne genkende hvad det er man skal substituere ind.

lad os sige at en funktion u af x er defineret som  

u(x) = x^2 + 1

det medfører at u' findes ved 

du/dx = 2x   Vi kan nu gange med dx på begge sider af lighedstegnet.

du = 2x dx

Vi kan nu substituere  u og du  ind i integralet

∫ x/(x^2+1) dx = ∫ x/u dx 

x dx = ½ du

∫ x/u dx = ∫ ½ * 1/u du = ½ ∫ 1/u du 

Dette integrale HAR vi en regel til for at integrere, nemlig ln|u| +C , og alt hvad vi mangler at gøre, er at substituere u(x) tilbage igen.

ln|u| + C = ln|x^2+1| + C

∫ x/(x^2+1) dx = ln|x^2+1| + C

Integration ved substitution er det ofte algebra delen der driller, sjældent integrations delen. Så hvis du har meget svært ved at forstå det her, så forslår jeg at du får genopfrisket algebra regne reglerne.

Okay, som jeg forstår det:
 

- Vi har denne funktion, som vi gerne vil integrerer:

∫ x/(x^2+1) dx

- Vi tager den indre funktion:

u(x) = x^2+1

- Og differentierer den:

du/dx = 2x

- Vi vil gerne isoler du (hvorfor?) - det gør man ved at gange på begge sider af ligehedstegnet med dx.

du = 2x dx

Her står jeg altid af. De næste trin har jeg ikke forstået, og det er også sket mange gange før.

Også en anden ting er, at du ikke går efter regnemetoden på "Gyldendals Gymnasiematematik Grundbog A". Der isoler de dx istedet for du.

 #2 - jeg har aldrig brudt mig om at "følge en opskrift". Det vigtige er at du forstår begreberne for så kan man selv resonere sig frem til en "opskrift". 

Grunden til at vi isolerer du eller dx, er for at vi kan substituere det ind i integralet så vi kan få det til at ligne noget vi kender.

Har du nogensinde lært at løse et ligningssystem(2 ligninger med 2 ubekendte) med substitutionsmetoden? For det er jo ikke anderledes end det, som du forhåbentligt lærte i 10. eller 1.g..? 

kort og anvendeligt

Problemet er så, NejTilSvampe, at jeg slet ikke har forstået begreberne. Jeg forstår virkelig ikke den tankegang man skal have til at integrere ved substitution. Og jeg er 100% sikker på, at der er tonsvis af andre der heller ikke forstår det, og vil også have en god forklaring.

mathon, har godt set mange af dine indlæg her på SP, men de hjælper ikke så meget med forståelsen.

I forbindelse med lidt privatundervisning skrev jeg sidste år følgende vejledning. Du kan jo se, om den kan hjælpe dig - ellers må du spørge yderligere. Der er gennemgået de tre måder, det er muligt at substituere på.

 #5 - du svarede ikke på mit spørgsmål. Har du lært at løse ligningssystemer med substitutionsmetoden? For hvis ikke ville jeg starte der hvis jeg var dig. Det emne kan nemlig nemt perspektiveres til dette :)

             grundlæggende gælder

                                                                (F(g(x))) ' = f(g(x))·g '(x)
som med
                        u = g(x)
og
                       du/dx = g '(x)  ⇔  g '(x)dx             giver

                       ∫ (F(g(x))) 'dx  = ∫ f(g(x))·g '(x)dx  = F(u)du + k

så hvis
                       f(u) er let at integrere, er man godt hjulpet ved brug af substitution

...............
at benytte det i praksis
kræver stor brugbar
viden om
                                        differentialkvotienterne til de hyppigst anvendte elementarfunktioner

Det glemte jeg vist :) Nej det har jeg ikke. B-niveau opgaver er ikke så svære at forstå, og jeg fik også kun 10 eller 12 på B-niveau. Men der er nogle enkelte opgaver, som jeg havde svært ved og "ligningssystemer med substitutionsmetoden" er en af dem.

Tak skal du have Walras, det er lige præcis sådan noget jeg leder efter! Nu prøver jeg lige at lære "ligningssystemer med substitutionsmetoden" først og så begynder jeg med integration ved substitution.

Tak skal I have guys, især dig NejTilSvampe og Walras.

Tak mathon :D

Det er godt nok lidt mere simpelt når du bare skriver det sådan istedet for med et eksempel. Prøver at kigge nærmere på disse ting efter jeg har lært det med ligningssystemer.

#1

 ∫ x/(x^2+1) dx

Lige umiddelbart kan vi ikke bruge nogen af de regneregler vi har i bogen til at integrere den her funktion. Så istedet bruger vi en substitution til at få funktionen til at ligne noget vi kender. Kunsten ligger i at kunne genkende hvad det er man skal substituere ind.

lad os sige at en funktion u af x er defineret som  

u(x) = x^2 + 1

det medfører at u' findes ved 

du/dx = 2x   Vi kan nu gange med dx på begge sider af lighedstegnet.

du = 2x dx

Vi kan nu substituere  u og du  ind i integralet

∫ x/(x^2+1) dx = ∫ x/u dx 

x dx = ½ du

∫ x/u dx = ∫ ½ * 1/u du = ½ ∫ 1/u du 

Dette integrale HAR vi en regel til for at integrere, nemlig ln|u| +C , og alt hvad vi mangler at gøre, er at substituere u(x) tilbage igen.

ln|u| + C = ln|x^2+1| + C

∫ x/(x^2+1) dx = ln|x^2+1| + C

Integration ved substitution er det ofte algebra delen der driller, sjældent integrations delen. Så hvis du har meget svært ved at forstå det her, så forslår jeg at du får genopfrisket algebra regne reglerne.

Undskylder for at tage en gammel tråd op, men har brug for at få styr på dette:

Hvorfor bliver x/u i udtrykket pludseligt til 1/u, her:

∫ x/u dx = ∫ ½ * 1/u du

?

kort:
               ∫ x/(x²+1) dx  =  ∫ 1/(x²+1)·(xdx)

                    sæt                           og dermed
                             x²+1 = u >0                               xdx  = (1/2)du

du har nu

               ∫ x/(x²+1) dx  =  ∫ 1/(x²+1)·(xdx)  =  (1/2) · ∫1/u du = (1/2)·ln(u) + k  =  (1/2)·ln(x²+1) + k

x/u dx = xdx * 1/u 

x dx = ½ du

xdx * 1/u = ½ 1/u du

Tak victorwa :D Rigtig godt forklaret, at man forstår det på første gang :)

#14 - what? :p han citerede bare #1... c'mon ....

Præcis, men han kommer med flere forklaringer, som kan få en 6-årige til at forstå det