Matematik
Vektorer i planen
Hej. Jeg sidder og roder med en opgave, som jeg ikke lige kan knække. Jeg så en anden havde stillet spørgsmål til samme opgave, men det var i 2008, og det var stadig ikke besvaret. Jeg har copy-pastet opgavebeskrivelsen fra hans spørgsmål, og håber en venlig sjæl vil komme mig til hjælp :)
Opgaven skal løses uden at indføre koordinater !
Der er givet to punkter A og B. Afstanden mellem A og B er 5. Punkterne C og D er fastlagt ved, at ->BC = ½->AB + ->^AB og ->CD = ½->^AB (minus) ->AB (NB ->AB betyder vektor AB)
a) Bestem den eksakte værdi af længden af hver af de resterende sider i firkant ABCD
b) Beregn firkantens vinkler.
Svar #1
28. februar 2011 af Andersen11 (Slettet)
Der gælder altså |AB| = 5, og BC = (1/2)AB + AB^ og CD = (1/2)AB^ - AB , hvor AB^ betyder tværvektoren til AB .
Man får så
|CD|2 = CD•CD = ((1/2)AB^ - AB)•((1/2)AB^ - AB) = (1/4)|AB^|2 +|AB|2 -(1/2)AB^•AB -(1/2)AB•AB^
= (5/4)|AB|2 , så
|CD| = ((√5)/2)|AB| = 5(√5) / 2
Endvidere får vi
|BC|2 = BC•BC = ((1/2)AB + AB^)•((1/2)AB + AB^) = (1/4)|AB|2 + |AB^|2 = (5/4)|AB|2 , så vi får
|BC| = 5(√5) / 2
Endelig har vi
AD = AB + BC + CD = AB + (1/2)AB + AB^ + (1/2)AB^ - AB = (1/2)AB + (3/2)AB^ , så
|AD|2 = ((1/2)2 + (3/2)2)|AB|2 = (10/4)|AB|2 , så
|AD| = 5(√10) / 2
Der er her benyttet, at AB og AB^ står vinkelret på hinanden, så AB•AB^ = 0 .
Man kan også betragte AB og AB^ som definerende et nyt korrdinatsystem, og længderne af de ønskede vektorer findes da let ved at benytte koordinaterne i dette koordinatsystem.
Svar #2
28. februar 2011 af AMelev
a) Indlæg et koordinatsystem, så A er i Origo (0,0) og 1. aksen er parallel med AB (fed er den gamle måde at skrive en vektor på). Så er A(0,0) og B(5,0). Herefter skulle det gå glat, hvis du benytter vektor mellem to punkter og stedvektorer fx OC = OB + BC.
b) Når du har alle punkters koordinater, kan du også finde alle vektorer og benytte skalarproduktet til at finde vinklerne (husk at fx vinkel B er vinklen mellem BA og BC - ikke AB og BC)
Svar #3
28. februar 2011 af Andersen11 (Slettet)
#2
Denne linie står udtrykkeligt i opgaveteksten: "Opgaven skal løses uden at indføre koordinater" .
Svar #4
28. februar 2011 af AMelev
#3 Jep - det havde jeg totalt overset. Det andet har ikke været kernestof siden reformen, så det var måske derfor, jeg faldt for den nemme løsning.
Dit alternative forslag til løsning #1 dur så heller ikke - det er jo netop det, der er indeholdt i mir forslag.
Svar #5
28. februar 2011 af AMelev
b) Når det skal klares helt uden koordinater, må cos-relationen tages i brug, efter at længderne er bestemt iflg. #1
Svar #6
28. februar 2011 af Andersen11 (Slettet)
#5
Det kan stadig klares med skalarprodukter og de givne oplysninger
cos(AB,AD) = (AB•AD) / (|AB||AD|) = (1/2)|AB|2 / (|AB||AD|) = (1/2)|AB| / |AD| = 1/√10
cos(AB,BC) = (AB•BC) / (|AB||BC|) = (1/2)|AB|2 / (|AB||BC|) = (1/2)|AB| / |BC| = 1/√5
cos(BC,CD) = (BC•CD) / (|BC||CD|) = 0
cos(AD,CD) = (AD•CD) / (|AD||CD|) = (1/4)|AB|2 / (|AD||CD|) = 1/(5√2)
De fire vinkler er da
71,565º
116,565º
90º
81,870º
Svar #7
28. februar 2011 af NicolaiK (Slettet)
Det er jo simpelthen fornemt. Jeg takker og bukker for de gode svar :)
Skriv et svar til: Vektorer i planen
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.