Matematik

Mat uden hjælpemidler - hurtig opgave

12. maj 2005 af *A* (Slettet)

Gør rede for at 3.gradspolynomiet
p(x)=1/3*x^3-3*x^2+40
har netop et nulpunkt

Hvordan gør man det lettest?
Tænker på noget med at sætte p'(x)=0, finde ekstremum og derefter vise at funktionen er voksende efter det sidste ekstremumspunkt ( som jo nok vil ligge under x-aksen) Altså vil der kun være et sted hvor den skærer 0.

Brugbart svar (0)

Svar #1
12. maj 2005 af frodo (Slettet)

lyder som en god fremgangmåde..

Brugbart svar (0)

Svar #2
12. maj 2005 af sontas (Slettet)

du bliver vel egentlig også nødt til at undersøge om funktionsværdien for x0 = 2 er over eller under 0 ?

Brugbart svar (0)

Svar #3
12. maj 2005 af Epsilon (Slettet)

Hvis man vil score alle point i den opgave, er man nødt til at bestemme monotoniforholdene for p og på grundlag deraf evaluere (udregne) p(x) i relevante punkter.

Det er ikke tilstrækkeligt at hævde, at p 'nok' har et nulpunkt. Man skal ifølge opgaveteksten gøre rede for, at p har præcis ét nulpunkt.

//Singularity

Brugbart svar (0)

Svar #4
12. maj 2005 af sontas (Slettet)

voks ]-uendelig,0] U [2,+uendelig[
aft [0,2]
vil du sige, at man bliver nødt til at tjekke om f(2) er over eller under 0? da den har minimum der.

Brugbart svar (0)

Svar #5
12. maj 2005 af Epsilon (Slettet)

#4: p har ikke (lokalt) minimum i x = 2. Men selv evaluering af p i minimum er ikke i sig selv tilstrækkeligt. Lad mig gennemgå, hvorledes opgaven kunne besvares til fuldt pointtal;

" Vi ser, at p er differentiabel med kontinuert afledet

p'(x) = x^2 - 6x = x(x-6)

Nulpunkterne for p bestemmes ved brug af nulreglen. Dermed haves

p'(x) = 0 <=> x = 0 v x = 6

og fortegnsvariation

p'(x) > 0 <=> x < 0 v x > 6
p'(x) < 0 <=> x E ]0;6[

idet p er kontinuert og derfor kun kan skifte fortegn i nulpunkterne. Herved sluttes, at

p er voksende i ]-infty;0] og [6;infty[
p er aftagende i [0;6]

Evaluering af p i det lokale minimumssted (x=6) samt i to udvalgte punkter x1,x2

p(6) = 4, p(-4) = -88/3, p(-3) = 4

Da p er kontinuert og strengt voksende i ]-infty;0] ser vi, at p har et nulpunkt x0 E ]-4;-3[, endda præcis ét nulpunkt, eftersom det lokale minimum, p(6) > 0. "

Er du med så langt?

//Singularity

Brugbart svar (0)

Svar #6
12. maj 2005 af Epsilon (Slettet)

#5: Lige en lille slåfejl;

"idet p er kontinuert og..." ->
"idet p' er kontinuert og..."

//Singularity

Brugbart svar (0)

Svar #7
12. maj 2005 af Epsilon (Slettet)

#5: Jamen for dælen da;

"Men selv evaluering af p i minimum..." ->
"Men selv evaluering af p i det lokale minimumssted..."

- hvis der er flere formuleringsfejl, går jeg i seng :-)

//Singularity

Brugbart svar (0)

Svar #8
12. maj 2005 af Epsilon (Slettet)

#5: Lad mig reformulere det sidste afsnit, så det forhåbentlig er lidt tydeligere, hvad jeg mener;

" Da p er kontinuert og strengt voksende i ]-infty;0] ser vi, at p har et nulpunkt x0 E ]-4;-3[, endda præcis ét nulpunkt, eftersom det lokale minimum, p(6) > 0. " ->

" Heraf ser vi, idet p er kontinuert og strengt voksende i ]-infty;0], at p har et nulpunkt x0 E ]-4;-3[. Af monotoniforholdene og det lokale minimum p(6) > 0 slutter vi, at p har præcis ét nulpunkt. Det var netop, hvad vi skulle redegøre for "

//Singularity

Svar #9
12. maj 2005 af *A* (Slettet)

#5 - jeps er helt med. Tak for hjælpen!

Men de der tilfældigt udvalgte punkter er vel valgt med bare en smule omhu ikke?

Brugbart svar (0)

Svar #10
12. maj 2005 af Epsilon (Slettet)

#9: Jo, de er netop valgt således, at de viser, at p skifter fortegn (læs: har et nulpunkt). Bemærk, at dette sikres af kontinuiteten af p.

Formelt set er det en anvendelse af "Mellemværdisætningen" for kontinuerte funktioner af én (reel) variabel.

Der er stor vilkårlighed i valget af de to punkter x1,x2

//Singularity

Skriv et svar til: Mat uden hjælpemidler - hurtig opgave

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.