Matematik hjælp ^^

Har du problemer med det hele? Og har du læst afsnittet om differentialregning i din bog?

Du skal tegne en graf for en funktion, lad det eksempelvis være f(x)=x². Vælg da to punkter, (x₀,f(x₀)) og (x₁,f(x₁)), og tegn da en linie fra det ene punkt til det andet. Denne linie kaldes en sekant. Undersøg da, om der er en grænseværdi ved at lade punktet (x₁,f(x₁)) gå i mod (x₀,y₀). Denne grænseværdi kaldes da differentialkvotienten og svarer til hældningskoefficienten for tangenten til grafen i punktet (x₀,f(x₀)).

Sætning. Funktionen f(x₀)=x₀² har den tilhørende differentialkvotient f'(x₀)=2x₀.

Bevis. Vi opskriver differenskoefficienten for funktionen og forkorter

Δf(x)/Δx=(x₁²-x₀²)/(x₁-x₀)=[(x₁-x₀)(x₁+x₀)]/(x₁-x₀)=x₁+x₀ --> 2x₀ for x₁ --> x₀,

hvormed vi har bevist sætningen.

Hvordan kan dette da bruges til at udregne en funktions monotoniforhold? Hvis vi ser på definitionen af differentialkvotienten, ser vi, at denne svarer til hældningskoefficienten for tangenten til grafen for en given funktion i et givet punkt. Det bør ikke kræve megen overbevisning (tegn en tegning og tjek efter), at de steder, hvor tangentens hældning er lig 0, dvs de punkter, hvor det gælder, at f'(x)=0, har grafen for den givne funktionen enten en vendepunkt eller en vandret vendetangent. Ved at differentiere kontinuerte og differentiable funktioner er det altså muligt at udregne de intervaller, hvori grafen til funktionen har en bestemt retning. Giv gerne et eksempel ud fra f(x)=x².

Vedrørende egenskaber ved differentialkvotienten tænkes der nok på de forskellige regneregler, der er for sådanne. Disse kan lynhurtigt bevises helt ækvivalent med ovenstående bevis, hvis du ønsker at gøre det.

Vi har eksempelvis, at

(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)

(kf(x))'=kf'(x)

(f(x)*g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

(f(x)/g(x))'=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/g(x)²

(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)

Du kan måske hente hjælp her i denne  SmartNotebook-fil.

Hvis du downloader filen, kan den åbnes via http://express.smarttech.com/#

Filformatet blev ikke genkendt, så filen kunne ikke vedhæftes.

 Hvad mener der med "Giv et eksempel på optimering af en funktion"? Kan i evt. komme med et andet beskrivende ord for optimering?

Optimering betyder kort sagt at finde maksimum eller minimum.

Optimering er kunsten at bestemme de forhold, der giver det optimale resultat.
Hvis det drejer sig om fortjeneste er det maksimum - hvis det drejer sig om ressourceforbrug er det minimum.