Integration

Du kan godt lave substitutionen t = x+2; men du kan ikke bare føre x² ud foran integraltegnet. Du skal så omdanne x²dx så det kun indeholder t og ikke x

Lan ilhan! Simdide kiz mi oldun lan? :-D

#1

Jeg kan ud fra substitutionen komme frem til:

dt/dx = 1, dvs. dt = dx

Hvordan kan jeg omdanne x²?

t=x+2 <-> x = t-2

#4

Dvs.

∫((t-2)²/t)dt = ∫((t²+4-4t)/t)dt = ∫((t+4/t-4)dt = 1/2t² + 4ln(t) - 4t + C

Tilbagesubstitution giver:

1/2(x+2)² + 4ln(x+2) - 4(x+2) + C

Sådan?

ja

#6

Det er min lommeregner vidst ikke enig i.

Den siger: 4ln(x+2) + x²/2 - 2x

Det er måske det samme?

det er det, når man husker på at integralet er defineret på nær en konstant. Du bør faktisk udføre kvadreringen af (x+2) og trække sammen med de -4(x+2) 

#8

Det forstår jeg ikke. Mener du, at det fundne udtryk i #5 skal yderligere reduceres?

Ja, så får du et udtryk du kan sammenligne med din lommeregner

#10

Jeg får da:

1/2(x+2)² + 4ln(x+2) - 4(x+2)

= 1/2(x² + 4 + 4x) + 4ln(x+2) - 4x - 8

= x²/2 + 2 + 2x + 4ln(x+2) - 4x - 8

= x²/2 - 2x - 6 + 4ln(x+2)

Tallet 6 i er "overskud" i forhold til lommeregnerens bud på løsningen. Hvad gør man så?

Indregner den i integrationskonstanten c, som du korrekt har med i #4

#12

Den fulde opgave hedder:

∫(x²/(x+2))dx = ∫(y)dy

Facit: y = ± √(8 · ln(x+2) + x² - 4x + C)

Ved at følge integrationen foroven (#11), så ender jeg ikke med resultatet fra facitlisten. Der må være noget regneteknisk, der er gjort forkert.

Du får jo det samme med din lommeregner. Det mest sandsynlige er at det er facitlisten, der er forkert.

#14

Det tvivler jeg stærkt på. :-)

Facit passer da fint med dine beregninger i #11. Opgaven er:

 ∫(x²/(x+2))dx = ∫(y)dy

og du finder at

∫(x²/(x+2))dx = x²/2 - 2x + 4ln(x+2) + K_x

da ∫(y)dy = y²/2 + K_y fås

x²/2 - 2x + 4ln(x+2) + K_x = y²/2 + K_y   ⇔

y = ±√(8·ln(x+2) + x² - 4x + C)

#16

I #11 får jeg jo ikke det samme som dig. Hvordan får jeg så tallet "16" i overskud når jeg regner integralet ud? Jeg kan se, at du ikke har det med i #16. Hvor går det galt?

Det er nu 6, du får i overskud: Det skyldes blot at en stamfunktion er defineret på nær en konstant. Er F(x) en stamfunktion til f(x) er F(x)+6 også en stamfunktion til f(x)

#18

Ja, det har jeg heller ikke sagt noget til :-)

Er det her korrekt forstået så:

∫(x²/(x+2))dx = ∫(y)dy

∫((t-2)²/t)dt + C_x1 = y²/2 + Cy1                                              (substitution t = x+2)

∫((t²+4-4t)/t)dt + C_x1 = y²/2 + C_y1

∫((t+4/t-4)dt + C_x1 = y²/2 + C_y1

1/2t² + 4ln(t) - 4t  + C_x1 = y²/2 + C_y1

t² + 8ln(t) - 8t + C_x2 = y + C_y2

(x+2)² + 8ln(x+2) - 8(x+2) + C_x2 = y + C_y2                                     (tilbage substitution)

x² + 4 + 4x + 8ln(x+2) - 8x - 16 + C_x2 =  y + C_y2

x² - 4x - 12 + 8ln(x+2) + C_x2 = y + C_y2

y= ± √(8ln(x+2) + x² - 4x + C)

Jeg har hele vejen igennem skelnet mellem konstanterne C_x1 og C_y1. For hver gang jeg har ganget, trukket fra eller lagt tal til disse, er indekset ændret til hhv. C_x2 og C_y2. Endelig samler jeg konstanterne sammen til C til sidst. Hvordan ser det ud?

Du har fra 5. linje erstattet y² med y, hvilket sikkert blot er en tanketorsk. Ellers ser det meget godt ud.